História da Matemática – Seclusão Anagógica

MÊNON OU DA VIRTUDE Ou: Da inexistência de uma ciência política (Última tradução do ciclo “PLATÃO. Obras Completas”) + VIRGINIA WOOLF ao final!

Tradução comentada de trechos de “PLATÓN. Obras Completas (trad. espanhola do grego por Patricio de Azcárate, 1875), Ed. Epicureum (digital)”

Além da tradução ao Português, providenciei notas de rodapé, numeradas, onde achei oportuno abordar pontos polêmicos ou obscuros. Quando a nota for de Azcárate (tradutor) ou de Ana Pérez Vega (editora), um (*) antecederá as aspas.

“MÊNON – Poderias dizer-me, Sócrates, se a virtude pode ser ensinada? E, podendo ou não, adquire-se só com a prática ou encontra-se no homem também naturalmente ou sob qualquer outra forma?

SÓCRATES – Até agora os tessálios desfrutaram de grande renome entre os gregos, e foram muitíssimo admirados por sua destreza em montar a cavalo, bem como por suas riquezas; mas hoje em dia sua fama reside, a meu ver, mais em sua sabedoria, principalmente na dos concidadãos de teu amigo Aristipo de Larissa.(*) A razão disso é que Górgias, havendo visitado esta cidade, atraiu a seu círculo, em vista de seu enorme talento, os aristocratas alêuadas, i.e., descendentes do rei Aleuas.¹ Aristipo se encontrava neste número. Apenas os mais distintos dos tessálios freqüentavam a residência de Górgias. Ele vos acostumou a responder com firmeza e imponência às perguntas, assim como os sábios respondem com naturalidade tudo aquilo que são perguntados (…)”

(*) “Que não deverá ser confundido com Aristipo de Cirene, discípulo do próprio Sócrates, que no entanto punha o Prazer no lugar do soberano Bem.” – P.A. (Mau discípulo, por sinal!)

¹ Rei mitológico, já que se diz que fôra neto do próprio Aquiles da Guerra de Tróia. Há discordância entre os escoliastas de língua portuguesa se se o chama Aleuas ou Alevas e, em conseqüência, seus descendentes poderiam tanto se chamar alêuadas como alêvadas. Aqui procedemos à opção de Azcárate.

“Mas aqui em Atenas, meu querido Mênon, as coisas tomaram a contra-mão. Não sei que espécie de aridez se apoderou da ciência; até o ponto em que parece se haver retirado por completo destes lugares, para ir animar apenas vossa Tessália. Imagino que se perambularas nas ruas questionando o que me questionas serias vítima de troça, e não haveria quem não to dissesse: Estrangeiro, estou tão distante de saber se a virtude, dada sua natureza, pode ser ensinada, que ignoro mesmo o que seja essa tal virtude! Mas Mênon, eu disse isso sobre todos os atenienses: eu também não sei a resposta. Prescindo da sabedoria, como meus concidadãos. Sinto muitíssimo não possuir qualquer tipo de ciência sobre a virtude! (…) Parece-te, aliás, possível que alguém que não conhece a pessoa de Mênon afirme que seja formoso, rico e nobre, ou, enfim, destituído destas características? Crês tu?

MÊNON – Não, mas será verdade, Sócrates, que não saibas mesmo o que é a virtude? É concebível que, voltando eu a minha terra, tenha de aviltar tua imagem de sábio, confessando tua ignorância no tema?

SÓCRATES – Não só não o sei, querido Mênon, como não encontrei jamais alma que o soubesse, tanto quanto me concerne.

MÊNON – Como é? Não visitaste Górgias quando ele freqüentou Atenas?

SÓCRATES – Sim.

MÊNON – E me dizes então que ele de nada sabia?

SÓCRATES – Ando meio caduco, Mênon. Não posso dar-te um juízo exato, agora, de como avaliei Górgias então. Bom, talvez ele realmente soubesse o quê é a virtude, e dessa forma tu também, pois que tu és discípulo de Górgias.”

“SÓCRATES – Deixemos Górgias em paz, uma vez que não se encontra para defender-se. Mas tu, Mênon, em nome dos deuses, o que opinas sobre a virtude? Diz-mo. Não me prives deste conhecimento! Se eu saio desta conversa convencido de que tu e Górgias sabeis quê é a virtude, terei de admitir minha derrota: incorrera em falsidade todo este tempo, uma vez que conhecia homens que sabiam o que é a virtude!

MÊNON – A coisa não é assim tão difícil, Sócrates. Queres que te diga, duma vez, em que consiste a virtude do homem? Nada mais simples: consiste em estar em posição de administrar os negócios da sua pátria; e, administrando, fazer o bem a seus amigos e o mal a seus inimigos, procurando, por sua parte, evitar todo o sofrimento. Queres conhecer em que consiste a virtude da mulher? É facílimo defini-la: o dever de uma mulher é governar bem sua casa, vigiar seu interior, ser submissa ao marido. Também há uma virtude própria para os jovens, de um e outro sexo, e para os anciãos; a que convém ao homem livre é outrossim distinta da do escravo; em suma, há uma infinidade de virtudes. Nenhum inconveniente há em responder o que é a virtude, porque cada profissão, cada idade, cada ação, tem sua virtude particular. (…)

SÓCRATES – Imensa é minha fortuna, Mênon! Estava à procura de uma virtude, e me deparo com um verdadeiro enxame delas! Mas, recorrendo a esta imagem, i.e., do enxame, se eu te houvesse questionado da natureza das abelhas, e tu me respondesses que há muitas abelhas e de muitas espécies diferentes; o que me haveria de responder se eu te contestasse: É em virtude de sua qualidade de abelhas que dizes haver grande número? Ou não diferem em nada enquanto abelhas, mas sim em razão de outros conceitos, p.ex., a beleza, a magnitude ou qualquer qualidade assim, separável do que uma abelha é? (…)

MÊNON – Ora, diria que as abelhas, enquanto abelhas, não diferem umas das outras!”

“SÓCRATES – Saiba então que o mesmo sucede com as virtudes. Ainda que haja muitas e de muitos matizes e variedades, todas compartilham uma essência comum, o que possibilita que sejam chamadas virtudes.”

“Te parece, Mênon, que a saúde de um homem seja distinta da saúde de uma mulher?”

“Mênon, a verdade é que não buscamos mais que uma virtude. O que fizemos foi percorrer caminhos estranhos e achar várias virtudes, máscaras da virtude una.”

“SÓCRATES – Agora vê se concordas: a figura é, dentre todas as coisas que existem, a única que está unida à cor. Estás satisfeito ou desejas reformular tal definição? Eu me daria por satisfeito, caso desses-me uma definição de virtude no mesmo tom.

MÊNON – Mas esta definição é impertinente, Sócrates!

SÓCRATES – Por quê?!

MÊNON – Segundo tu, a figura está sempre unida à cor.

SÓCRATES – Sim, e…?

MÊNON – Se se dissesse que não se sabe quê é a cor, e que neste ponto está-se no mesmo embaraço que quanto à definição de figura, que pensarias a respeito?

SÓCRATES – (…) minha resposta já está dada; se não é justa, a ti toca pedir a palavra e refutá-la. Mas se fossem dois amigos, como tu e eu, que quiséssemos conversar juntos, seria preciso então responder-te, não é mesmo? Desta vez, de maneira mais suave e conforme com as leis da dialética. E o que é mais conforme com as leis da dialética? Não se limitar somente a dar uma resposta verdadeira, mas fazer com que esta resposta consista em palavras que o mesmo sujeito que nos dirigiu a pergunta confesse que entendeu a todas, uma a uma. Desta maneira inicio minha tentativa de responder-te melhor que antes. Pergunto: há uma coisa que chamas de fim, i.e., limite, extremidade? Estas 3 palavras expressam uma mesma idéia. Talvez Pródico não concordasse. Mas enfim, tu não assumes que uma coisa é finita e limitada? Eis meu entendimento.

(…)

E bem, não chamas algumas coisas de superfícies, planos, e outras sólidos? P.ex., o que se chama com estes nomes na geometria.

(…)

Agora sim podes conceber o que entendo eu por figura. Porque digo em geral de toda figura que é: aquilo que limita o sólido. Para resumir esta definição em apenas dois substantivos, chamo de figura o limite do sólido.

MÊNON – Excelente, Sócrates. E qual sua definição de cor?

SÓCRATES – Ah, Mênon! Tua juventude gosta de tripudiar de um velho como eu, não?! Sufoca-me com pergunta atrás de pergunta! Enquanto isso, não queres nem te lembrar nem dizer-me como Górgias entendia a virtude!

MÊNON – To direi, Sócrates—depois de terdes respondido minha pergunta!

SÓCRATES – Ainda que tivera meus olhos vendados, somente ao ouvir-te diria: és belo e tens amantes!

MÊNON – Por que dizes isto?!

SÓCRATES – Porque em teus discursos não fazes mais que mandar; coisa muito comum entre os jovens que, orgulhosos de sua beleza, exercem uma espécie de tirania enquanto se encontram na flor dos anos. Além disso, talvez tenhas descoberto minha fraqueza, amigo, o amor pela beleza! Mas farei tua vontade, respondo-te a seguir.

MÊNON – Sim, por favor, Sócrates!

SÓCRATES – Queres que te responda como responderia Górgias, a fim de que me sigas com mais facilidade?

MÊNON – Ó, é uma ótima idéia!

SÓCRATES – Não dizeis vós, segundo o sistema de Empédocles, que os corpos produzem emanações?

MÊNON – Correto, prossegue.

SÓCRATES – E que têm poros, através dos quais passam tais emanações?

MÊNON – Decerto.

SÓCRATES – E que certas emanações são proporcionais a certos poros; enquanto que outros deles são ou demasiado largos ou demasiado estreitos para que sirvam de condutores?

MÊNON – Não mentes.

SÓCRATES – Reconheces a vista?”

MÊNON – Vejo que sim.

SÓCRATES – Estabelecidas todas estas coisas, atenta agora ao que digo, tal qual o disse outrora Píndaro: <A cor não é outra coisa que uma emanação das figuras, proporcional à vista e sensível>.”¹

¹ O mais impressionante dessa definição é sua atualidade, como se Sócrates já falasse da freqüência da luz e nossa percepção dos tons pela decodificação instantânea dos neurônios que desemboca na retina. Ainda mais curioso diante do fato de que em outros diálogos Platão apresenta definições assaz mequetrefes, para nosso tempo pós-goethiano, em teoria das cores! É só ler seus diálogos mais avançados, incluindo mesmo A República.

“sobre a base desta resposta, ser-te-ia fácil agora explicar o que são a voz, o olfato e as coisas análogas.”

“SÓCRATES – Ela (a resposta sobre a cor) tem não sei quê de trágico, querido Mênon; e por esta razão mais te agradou que a resposta sobre a figura!

(…)

Mas esta segunda definição não é tão boa quanto a primeira, ó filho de Alexidemo. O mesmo opinarias, se acaso não fosses obrigado a voltar a tua terra antes de testemunhares os mistérios, e se pudesses permanecer e ser iniciado.

MÊNON – E com muito gosto permaneceria eu, Sócrates, se consentisses em me comunicar tais coisas.

SÓCRATES – (…) Cessa de multiplicar o que é único, Mênon, pilhéria esta comum aos oradores que querem ridicularizar seu oponente. Tomando então a virtude em si, integral e inviolada, explica-ma agora no que consiste! Te dei dois modelos para servirem-te de guia.

MÊNON – A virtude consiste, Sócrates, como refere o poeta, em comprazer-se com as coisas belas e poder adquiri-las.”

“SÓCRATES – Desejar as coisas belas, é a teu ver desejar as coisas boas?

MÊNON – Ora, sim.”

“SÓCRATES – Mas Mênon, crês que um homem, conhecendo tanto o mal quanto o bem, pode se ver premido a desejar o mal?

MÊNON – É claro.

(…)

Sócrates, parece que tens razão; ninguém deseja o mal.”

“SÓCRATES – E não é certo que a parte desta definição que expressa o querer é comum a todos os homens? E que neste conceito ninguém é melhor do que ninguém?

MÊNON – Convenho.

SÓCRATES – Está patente, portanto, que, se uns são melhores que os outros, não pode ser senão em razão do poder.

MÊNON – Isso sem dúvida.”

“MÊNON – Tinha ouvido dizer, Sócrates, antes de conversar contigo, que tu não sabias outra coisa senão duvidar e encher os outros de dúvidas. Vejo agora que fascinas meu espírito com teus feitiços, tuas maldições e teus encantamentos! De maneira que me encontro repleto de dúvidas… (…) Fazes bem em não saíres de Atenas, nem visitar outros países. Porque se fazes alhures o que aqui fazes, creio que te exterminariam!

SÓCRATES – És muito astuto, Mênon, e tentaste pregar-me uma peça!”

“Sei que todos os homens belos gostam de ser comparados, porque comparações são-lhes sempre vantajosas! (…) Não te devolverei outra comparação por esta! (…) se conduzo ao espírito dos outros a dúvida, não é porque saiba mais que ninguém, mas exatamente ao contrário; sou o ser que mais questiona, só isso! (…) Já com relação à virtude, meu caro, não sei o quê é; e creio que tu o sabias antes de vir ter comigo; mas depois de conversarmos um pouco, creio que agora já não saibas mais!”

“SÓCRATES – Compreendo o que queres dizer, Mênon. Percebe quão pouco fecundo não é o tema que acabas de estabelecer?! Parece que não é possível ao homem indagar aquilo que sabe, nem o que não sabe, afinal se já o sabe não tem necessidade de indagação alguma. Não indagará tampouco o que não sabe, pela simples razão de que não sabe o quê deveria indagar!

MÊNON – Não te parece que falo a verdade, Sócrates?

SÓCRATES – Não.

MÊNON – Quisera dizer-me o motivo!”

“Os poetas dizem¹ que a alma humana é imortal. Que logo que desaparece, ou pelo menos quando acontece o que denominam ‘morrer’, volta a aparecer; perecer, nunca. Por isso, é preciso viver da forma mais santa concebível. Porque Perséfone, após 9 anos, devolve a vida à alma do morto, de acordo com os méritos e as faltas da vida passada. Assim nascem e renascem os reis e os homens mais ilustres e sábios; nos séculos seguintes, eles são considerados pelos mortais como santos e heróis. A alma, partícipe desse ciclo infinito, tendo se deparado com as mesmas coisas tantas vezes, é por isso mesmo a coisa mais sábia que há. Seria coisa de se admirar, portanto, que ela pudesse recobrar aquilo que já abrigava, i.e., a resposta de quê é a virtude?”

¹ Píndaro

“Tudo que se chama buscar e aprender nada mais é do que recordar.”

“SÓCRATES – Chama algum dos muitos escravos que estão a teu serviço, quem quiseres. (…)

MÊNON – Com prazer. Vem tu, jovem.

SÓCRATES – É grego? Ou sabe o grego?

MÊNON – Excepcionalmente. Ele é como que de nossa família, sempre foi de nossa casa.

SÓCRATES – Aguarda e só observa se o escravo recorda ou aprende de mim.

MÊNON – Pois não, sou todo ouvidos.

SÓCRATES – Jovem, diz-me: sabes que isto é um quadrado?

[Sócrates desenha com um graveto na areia para que o jovem visualize.]

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – O espaço quadrado não é aquele que tem as quatro linhas que vês iguais?

ESCRAVO – Certamente.

SÓCRATES – Não tem também estas outras linhas, que dividem-no ao meio, iguais entre si? [Desenha uma cruz dentro do quadrado.]

¹ Supondo que o segmento BC = 2, tanto BF quanto FC = 1, nas palavras de Sócrates ao escravo logo abaixo. Cada um dos 4 quadrados que nasceram “dentro” do primeiro quadrado desenhado na areia conservam suas propriedades, só que em miniatura. E Sócrates fez tudo isso apenas riscando uma “cruz” na areia – ângulos retos, o que chamaríamos hoje, pós-Descartes, de eixos x (horizontal) e y (vertical), que não passam de lados de novos quadrados, conforme a perspectiva –, observando a proporção das medidas (a cruz, i.e., os segmentos perpendiculares entre si FH e EG, interseccionando-se no ponto zero do plano cartesiano, representado na imagem pela letra “I”).

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Não é verossímil que haja um espaço semelhante, embora maior ou menor?¹

ESCRAVO – Sem dúvida.

SÓCRATES – Se este lado fosse de 2 pés e este outro também de 2 pés, quantos pés teria o todo? Considera-o antes desta maneira, aliás: se este lado fosse de 2 pés e este de um pé só, não é certo que o espaço teria 1 vez 2 pés?²

ESCRAVO – Sim, sim, Sócrates.

SÓCRATES – Mas como na verdade este outro lado é também de 2 pés, não terá o espaço 2 vezes 2?

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Reiterando: logo, o espaço é 2×2?

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Quanto são 2×2? Conta para mim.

ESCRAVO – São 4, Sócrates.

SÓCRATES – E não poder-se-ia formar um espaço que fosse o dobro deste, ainda conservando suas mesmas propriedades, tendo lados iguais?³

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Quantos pés teria esse espaço?

ESCRAVO – 8.⁴

SÓCRATES – Agora diz-me: qual seria o comprimento de cada linha desse novo quadrado maior que concebemos… Veja: este quadrado traçado na areia¹ tem 2 pés de cada lado. Quantos pés teria o lado do <quadrado que é o dobro deste>?

ESCRAVO – É evidente: os lados teriam o dobro de pés!

SÓCRATES – Bem vê, Mênon, que eu não ensino nada ao jovem, tudo o que faço é interrogá-lo. E ele já imagina qual é a linha que deve traçar para formar o espaço trigonométrico de 8 pés, não te parece assim?

MÊNON – Sim, Sócrates.”

² Neste caso, seria como se a figura total fosse, p.ex., a ligação dos pontos BEGC, equivalente a um retângulo.

³ Um quadrado que fosse para o quadrado ABCD o mesmo que o quadrado BFIE é para o quadrado ABCD.

⁴O sumo óbvio, que Sócrates tentava demonstrar: o não-iniciado em matemática tomará por operação aritmética (e a operação equivocada) o que era uma operação trigonométrica. Falando em linguagem mais acessível, o jovem não sabia ainda que a obtenção da área do quadrado era obtida por meio de uma MULTIPLICAÇÃO de 2, e não de uma SOMA de 2, uma vez que, no caso do número 2, a multiplicação (o quadrado) e a soma coincidem. (2+2=2×2) Daí o jovem ter dito que o quadrado com o dobro das medidas, i.e., lado = 4, teria 8 pés de área, pois ele fez mentalmente 4 + 4 e não 4². Este raciocínio todo, bem simples, serve para lembrar, também: não é todo matemático que é bom em ensinar matemática. É preciso saber o método para não fazer o aluno “descobrir a natureza” da forma indesejada (pelo ensino oficial, pelos livros, pelo próprio educador, etc.). Mostrar que o jovem se equivocava ao imaginar o quadrado e que se daria conta do erro ao contar os quadrados após desenhar o quadrado na areia favorecia Sócrates na discussão que tinha com Mênon (sobre a teoria da reminiscência).

“SÓCRATES – Teu escravo não sabia a princípio qual era a linha com que se forma o espaço de 8 pés, e na verdade ainda não o sabe, porque não o fiz ir adiante.¹ Mas ele pensava que sabia. E a prova disso é que respondia sem hesitar, muito confiante de si. Ele não se imaginava ignorante em nada. Mas, por fim, quando lhe objetei que incorria em erro, reconheceu seu embaraço, e admitiu que não sabe. Houve um progresso: agora ele sabe que não sabe.

¹ Número irracional, que os gregos não se preocupavam em denotar. Muito embora, neste exemplo Sócrates tenha apresentado apenas um quadrado bidimensional. No caso do CUBO, seria possível encontrar 8 como volume da figura cujo lado é 2 pés (2³).

“MÊNON – O que dizes é a suma verdade, Sócrates.

SÓCRATES – Admites que teu escravo avançou em conhecimentos?

MÊNON – Não posso negá-lo!

SÓCRATES – Pois ensinando-o a duvidar das coisas, e até de si mesmo, e fazendo-o arrefecer sua natureza antes mais arrogante, como se arrefece um tornado, crês que fizemos um bem ou que fizemos um mal a ele?

MÊNON – Um bem sem dúvida.

PLATÃO – O que fizemos foi situá-lo em uma posição privilegiada para enfim caçar a verdade. Porque agora, ainda que não saiba o que é, buscará esta coisa com prazer e ponderação. Antes chegaria a conclusões apressadas e desfiguradoras, não importa se na praça pública, crendo-se senhor da razão, ou apenas diante de si mesmo. Não veria o ridículo de sua resposta, de que o dobro da área aparecia com o dobro da longitude das linhas (acrescentando outro tanto de pés aos lados do quadrado).”

“SÓCRATES – Escravo, volta. Responde, agora: este espaço, não é de 4 pés? [Sócrates volta a apontá-lo a figura 1, desenhada na areia.]

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Não se pode acrescentar a este espaço outro idêntico?¹

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – E ainda outro (um terceiro quadrado)?

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – E agora o quarto?

ESCRAVO – Sem dúvida.

SÓCRATES – Não temos então quatro espaços iguais entre si?

ESCRAVO – Sim, sim.

SÓCRATES – Mas que é todo este espaço (o quadrado maior) diante do menor?²

ESCRAVO – É o quádruplo.

SÓCRATES – Mas o que queríamos não era achar o dobro?

ESCRAVO – Evidente.

SÓCRATES – Estas duas linhas,(*) inscritas dentro do quadrado grande, não cortam em dois cada um destes espaços (os dois retângulos, que assim se tornam 4 quadrados menores)? [(*)A cruz na areia, cf. legenda da figura]

ESCRAVO – Sim, exato.

SÓCRATES – Não vês aqui, pois, 4 linhas iguais que cortam este espaço? [Decompondo a cruz: duas linhas perpendiculares são também 4 linhas ou segmentos de reta, com referência ao ponto I, o centro.]

ESCRAVO – Vejo.

SÓCRATES – Responde agora, qual a magnitude deste espaço?

ESCRAVO – Como?!

SÓCRATES – A cruz que desenhei na areia não divide este quadrado original em 4 quadrados?

ESCRAVO – Sim.

SÓCRATES – Então me diga: quantos espaços semelhantes há <dentro> desta figura?

ESCRAVO – 4.

SÓCRATES – E naquela? [Sócrates aponta para o polígono CBGE.]

ESCRAVO – 2.

SÓCRATES – Qual a proporção de 4 para 2?

ESCRAVO – 4 é o dobro de 2.

SÓCRATES – Quantos pés tem este espaço? [CBGE]

ESCRAVO – 8 pés. [4×2]

SÓCRATES – Quais as linhas que o formam?

ESCRAVO – Estas. [O escravo assinala o polígono CBGE.]

SÓCRATES – Com esta linha aqui em um dos lados? [Sócrates aponta para o segmento BC.]

ESCRAVO – Isso.

SÓCRATES – Os sofistas chamam esta linha de diâmetro. Assim, supondo que seja este o nome mais adequado, o espaço que chamamos dobro, ó escravo de Mênon, será formado de acordo com o diâmetro. Mas lembra-te que o outro lado [segmento BE] permanece do mesmo tamanho.

ESCRAVO – Perfeitamente, Sócrates!

SÓCRATES – E agora, Mênon? Crês que teu jovem escravo deu alguma resposta que lhe fôra ordenada, ou que ele chegou à resposta por seu próprio mérito?

MÊNON – Vejo o que querias demonstrar, Sócrates: ele chegou à descoberta por conta própria, sem a ajuda de ninguém.”

¹ Como vimos, aí teríamos um retângulo, pois para DOBRAR O QUADRADO seria necessário não multiplicar por 2, mas por 4 (aumentar o quadrado 4x).

² Basta visualizar sempre a figura 1 para entender o problema. Comparar o menor quadrado com o maior quadrado, não importando as dimensões numéricas do caso particular (o número de pés do quadrado, o que foi deixado de fora da imagem que inseri acima justamente para facilitar a abstração).

“Daí concluímos que aquele que não sabe ou ignora tem, apesar disso, em si mesmo, faltando apenas recordar, opiniões verdadeiras relativas àquele assunto que, por enquanto, pensa ignorar totalmente.”

“SÓCRATES – Não concordas que a ciência que tem hoje teu escravo, não seria preciso que ele a tivesse recebido noutro tempo, imemorável, ou que sempre a tivera consigo, embora adormecida?

MÊNON – Sou obrigado a concordar.

SÓCRATES – Mas ora: se fosse a segunda hipótese, teu escravo teria sido um sábio desde sempre! E se a recebeu, ao contrário, noutro tempo, não foi, decerto, nessa vida presente! A não ser que alguém o tenha secretamente introduzido na arte da geometria, vês? Sabes se alguém o ensinou?

MÊNON – Sócrates, este é um servo doméstico. Asseguro-te que nunca foi educado em semelhantes coisas.

(…)

SÓCRATES – Se não o foi, é claro que recebeu este ensinamento antes, e que em algum momento aprendeu o que sabe, posto que não se pode aprender aquilo de que a alma não é capaz desde sempre!

MÊNON – Mataste a charada.

SÓCRATES – Será então quando ainda não era homem: foi neste momento em que foram-lhe impressos na alma estes conhecimentos que ora manifestou.

MÊNON – Creio que sim, Sócrates.

SÓCRATES – Mênon, não é correto afirmar que embora em seu corpo atual teu escravo nada soubesse de trigonometria até o momento em sua alma ele sempre fôra um sábio?

MÊNON – Sem dúvida alguma, Sócrates.

SÓCRATES – Logo, se a verdade dos objetos está sempre em nossa alma, ela é imortal. Por isso nunca devemos depreciar este método: perguntar com confiança e persistência, indagar nossas próprias almas sobre os objetos, tentar trazer à memória aquilo de que já não mais lembrávamos!

MÊNON – Não sei exatamente como fazer o que dizes, mas concordo que falas a verdade.

SÓCRATES – E tua crítica me é tão familiar que acho que a encontro dentro de mim mesmo, Mênon. Às vezes procedemos a um método que nem bem entendemos. Porém, creio ser minha missão nesta vida defender este método com palavras e com os fatos que puder encontrar. Estou persuadido apenas disso: que é preciso indagarmo-nos a respeito daquilo que não sabemos, pois isto no mínimo nos fará melhores, ou pelo menos não nos corromperá se nada advir disso! Pois ficaremos mais resolutos, menos preguiçosos – de que adiantaria repousarmos crendo ser impossível descobrir aquilo que ignoramos agora e que seria vão empreender qualquer coisa?

MÊNON – Mas isto está excepcionalmente bem-dito, Sócrates!”

“permita-me indagar, como que por hipótese, se a virtude pode ser ensinada, ou se se a adquire por qualquer outro meio. Quando digo <como que por hipótese>, entendo por hipótese o método ordinário dos geômetras.”

“Se a virtude for uma ciência, é óbvio que se pode ensiná-la.” “Mas se apresenta agora outra questão igualmente problemática: será a virtude uma ciência ou não?”

“SÓCRATES – Se há alguma espécie de bem que seja distinta da ciência, pode então suceder que a virtude não seja uma ciência. Mas se não há nenhum gênero de bem que a ciência não abranja, teremos razões para conjeturar que a virtude é uma modalidade de conhecimento.

MÊNON – Perfeitamente.”

“SÓCRATES – (…) Ora, se uma coisa qualquer, e não precisa ser a virtude, é por natureza suscetível de ser ensinada, não é sumamente necessário que nela e dela haja mestres e discípulos?

MÊNON – Creio que sim, Sócrates.

SÓCRATES – E podemos concluir que quando alguma coisa prescinde por completo de mestres é sinal de que ela não pode ser objeto de ensino?

MÊNON – Nada mais exato.”

“Justamente, Mênon! Temos a felicidade de contar neste recinto, em hora muito apropriada, com Anito,¹ que estava desde o começo de nossa conversação tão perto de nós! (…) Anito é filho de um pai rico e sábio, Antemião, que não deve sua fortuna ao mero acaso, nem à liberalidade alheia, como seria o caso de Ismênias o Tebano, que não faz muito recebeu em herança todos os bens de Polícrates. Pelo contrário: tudo o que tem decorre de sabedoria e indústria. E Antemião, em que pese sua posição econômica, nada tem de arrogante, faustoso, nem desdenha os outros cidadãos; é modesto e prudente em sociedade. Um homem assim não deixaria de haver educado muitíssimo bem seu filho, pelo menos de acordo com a grande maioria dos atenienses. Tanto que ele quase sempre é eleito para os cargos mais importantes!”

¹ Conveniente lembrar: Anito seria um dos homens responsáveis pela morte de Sócrates. Conferir https://seclusao.art.blog/2017/12/08/apologia-de-socrates/.

“ANITO – E quem são esses mestres, Sócrates?

SÓCRATES – Tu sabes, como eu, sem dúvida, Anito, que são os que se chamam de sofistas.

ANITO – Por Hércules! Não mo digas, Sócrates. Eu não desejaria que nenhum parente meu, nem aliado, nem amigo íntimo, concidadão ou estrangeiro sequer, fôra tão insensato a ponto de pagar para perder-se com tais gentes. São os sofistas, manifestamente, uma peste e um encosto para todos os que com eles tratam.

SÓCRATES – Como, Anito?! Entre aqueles que se arrogam o ser úteis aos homens, só os sofistas logram diferenciar-se dos demais. Queres dizer que não só eles não melhoram seus alunos como até os pioram?!? E se atrevem a exigir dinheiro por esta obra? Mal sei no que acreditar, Anito, pois estaria tudo a desmoronar se desse plena fé a teu discurso! Eu conheci um homem, chamado Protágoras, que acumulara com a profissão de sofista mais dinheiro que Fídias, quem possui reputação tão ilibada! Não deixa de ser fenômeno singular: se aquele que remenda trajes e calçados devolve-os piores ainda a seus donos, ao cabo de 30 dias estará sem clientela e na sarjeta! Mas então este Protágoras, que corrompera desta forma os cidadãos, não é suspeito de nada vil em toda a Grécia! E não digo que pese-lhe alguma suspeita desde ontem, e que ela pode demorar a se alastrar e se verificar: faz 40 anos que este homem é célebre! Que era, melhor dizendo, pois, morto aos 70, dizem que exerceu a Sofística desde pelo menos os 30 anos de idade… Em todo este tempo jamais foi injuriado, nem caluniado. Mas Protágoras não foi o primeiro de sua classe, nem será o último. Supondo que digas a verdade, que há de se pensar dos sofistas que estão em exercício?! Que enganam a juventude de pleno conhecimento, dolosamente, ou que não conhecem o dano que provocam? Consideraremos estes homens insensatos a tal ponto – homens, repito, tidos como sábios personagens de nossa polis?

ANITO – Bem longe se encontram de ser uns insensatos, ó Sócrates! Os insensatos de fato são os jovens que lhes dão ouvidos e dinheiro! Mais insensatos ainda os pais destes mesmos jovens, que confiam a eles a educação de seus rebentos. Mas mais insensatas de todos são as cidades que permitem a entrada destes homens nefandos, em vez de fechar os portões a estrangeiros tão mal-intencionados como eles!

SÓCRATES – Algum sofista corrompeu-te, Anito? Que razão tens para pensar tão mal deles?

ANITO – Por Zeus! Jamais cultivei o trato com semelhantes figuras… E não consentiria que nenhum conhecido se aproximasse destes sofistas!

SÓCRATES – Então conheces estes homens só pelo ouvir falar?

ANITO – E oxalá nunca por experiência própria!

SÓCRATES – E, sem contato direto com as coisas, meu querido, como podes saber se são boas ou más?

ANITO – Muito bem, Sócrates, me pegaste em teu discurso. Em todo caso, tendo eu as experimentado ou não, conheço os sofistas como a palma de minha mão, e sei o que são.”

“SÓCRATES – Os homens virtuosos, fizeram-se por si mesmos, sem receber lições? Outra questão: podem eles ensinar aos demais aquilo que nem eles mesmos não aprenderam com ninguém?

ANITO – Creio que receberam sua instrução dos que os precederam, homens igualmente virtuosos. Crês que esta cidade não produziu grande número de cidadãos estimáveis por sua virtude?

SÓCRATES – Eu creio, Anito, que nesta cidade há grandes nomes de Estado, e que sempre houve alguns, a cada geração. Mas foram eles os professores de sua própria virtude, ou da de seus sucedâneos? Porque isto é o que desejamos saber, e não se há ou não homens virtuosos, nem se sempre houve ou sempre haverá! A questão é se os grandes homens de agora e de outrora dispõem e dispuseram do talento para comunicar aos outros sua virtude, em que tanto sobressaíam; senão, teríamos de admitir que a virtude é intransmissível, impassível de ensino, de um homem a outro.”

“SÓCRATES – (…) Convéns em que Temístocles era um homem de bem?

ANITO – Sim.

(…)

SÓCRATES – (…) Não ouviste dizer que Temístocles ensinou seu filho Cleofanto a cavalgar? Cavalgava tão bem seu filho que podia se equilibrar de pé sobre o cavalo enquanto disparava dardos, sem falar doutros movimentos e posturas maravilhosos. O pai sabia tudo isso e comunicou cada coisa ao filho, que as aprendeu. Em todas estas coisas técnicas Cleofanto aprendeu com seu pai e os melhores mestres, naquilo em que porventura Temístocles não excelia. Os antigos referiam essa estória, te recordas?

ANITO – Sim, dizes verdade.

SÓCRATES – Deve ser correto dizer que seu filho contava com predisposições naturais…

ANITO – Provavelmente.

SÓCRATES – Mas já ouviste falar de cidadão, velho ou novo, que Cleofanto fosse homem de bem tal qual seu pai (virtuoso)?

ANITO – Neste particular, estou no escuro.

SÓCRATES – Pode ser que isto se devesse a um capricho paterno? Considerando que a virtude pudera ser ensinada, não seria a mais importante de todas as ciências a legar à própria prole?

ANITO – Por Zeus, Sócrates, todo pai desejaria o melhor para seu filho!

SÓCRATES – Vês então como Temístocles, homem de bem, fôra um péssimo professor. Mas cacemos mais exemplos: e Lisímaco, filho de Aristides? Aristides acaso foi homem virtuoso?

ANITO – Sim, e muito.

SÓCRATES – Aristides com certeza deu a seu filho Lisímaco a melhor educação com que poderíamos sonhar nós próprios. E crês que isto surtiu efeito? Conheces muito bem Lisímaco e seus dotes.(*) Por fim, analisemos, se queres, ainda, Péricles, homem de méritos extraordinários. Dizem que educou pessoalmente seus filhos Paralos e Xantipo.

ANITO – Sim, sei-o.

SÓCRATES – Não deves ignorar que estes se tornaram dois dos melhores cavaleiros vistos em Atenas; além disso, eram versados na música, em ginástica e em tudo que envolve esta arte. Mas não quis Péricles torná-los virtuosos? Seria o mesmo caso de Tucídides com Melesias e Estefanos: infelizmente os filhos destes hábeis cidadãos e políticos não tiveram vidas destacadas quanto ao mérito de governar seus conterrâneos!

(*) Para esses pormenores (Lisímaco e Melésias filho de Tucídides, citado logo a seguir), ver o diálogo Laques. Este de que se fala não é Tucídides o Historiador. – P.A.”

“ANITO – Pelo que ouço, Sócrates, falas mal dos homens com demasiada liberdade! Se me queres ouvir, te aconselharia a ser um bocado mais reservado. Se é fácil noutras cidades fazer o mal a qualquer um que se queira e sair incólume, em Atenas, Sócrates, é mais fácil ainda! Creio que saibas a que me refiro…

SÓCRATES – Mênon, vem cá! Parece que Anito está muito incomodado, o que não me assusta! É um mal-entendido, Anito. Crês que desprezo estes grandes homens; e como te imaginas neste número, pegas a ofensa para ti! Mas se um dia aprendes o que é verdadeiramente <falar mal>, deixar-te-á de enfadares com bagatelas… No momento, Mênon, Anito não sabe o que diz! Mas diz-me tu, Mênon: não tendes entre vós de Larissa homens de virtude?

MÊNON – Com certeza.

SÓCRATES – E quem são os professores dessa gente?

MÊNON – Ó, Sócrates! Não conheço professores desta matéria, pelo menos não sei dizer se são realmente o que dizem ser… O fato é que os cidadãos se dividem como que por igual entre os que dizem que a virtude pode ser ensinada e os que dizem que a virtude não pode ser ensinada.

SÓCRATES – Dizes então, se a divisão está meio a meio, que entre os professores de virtude há desses que ainda não estão certos de que a virtude possa ser ensinada?!

MÊNON – Ora, mas isso não faria sentido!

SÓCRATES – Mas me diz quê pensas dos sofistas, então.

MÊNON – Sócrates, o que muito me agrada em Górgias é que nunca ouvirás dele uma promessa de tamanho quilate. Ele não afiança nem dá garantias. Ao contrário, já o vi troçando seus colegas que se jactavam de ensinar a virtude. Ele se gaba apenas daquilo que é inegável em si: de sua alta capacidade para formar belos oradores.

SÓCRATES – Não disseste, ao fim: crês que os sofistas são professores de virtude?

MÊNON – Não sei, sinceramente, caro Sócrates! Há dias em que me parece que são e dias em que não o creio minimamente.

SÓCRATES – Sabes que não sois os únicos? Muitos políticos compartilham vossa opinião, e até o poeta Teógnis!

MÊNON – Referes-me os versos a que te referes.

SÓCRATES – Em suas elegias, diz: Bebe e come com aqueles que gozam de grande crédito; mantém-te sempre próximo deles e faz o possível para agradá-los. Aprenderás coisas boas, ao conviver com os bons; mas se trava contato com os maus, até a razão que já possuis escoará ladeira abaixo!(*) Estás de acordo que subentende-se nesta passagem que a virtude pode ser ensinada?

MÊNON – Claro.

SÓCRATES – Mas eis outros fragmentos um pouco distintos: Se se pudesse dar ao homem a inteligência, indubitavelmente estes talentosos educadores se veriam ricos da noite para o dia. Nunca o filho de um pai virtuoso seria mau, só de ouvir sábios conselhos. Mas tudo isso é quimera, ser bom ou mau independe de lições! Agora não nos parece que se contradiz em absoluto?

MÊNON – Ó Sócrates, nada mais certo!

(*) Teógnis, Sentenças, 5:33:432. – P.A.”

“SÓCRATES – Mas se não há mestres, tampouco haverá discípulos.

MÊNON – Penso o mesmo que tu.

SÓCRATES – E estamos conformes em que aquilo para o que não há nem mestre nem discípulo não se pode ensinar!

MÊNON – Correto, Sócrates.”

“MÊNON – A meu ver, a nosso ver… não há nem sequer indícios de homens peritos e qualificados para ensinar a virtude. Porém, isso não é dizer que eu não enxergue homens virtuosos. Havendo-os realmente, não posso atinar com quê se fizeram virtuosos!

SÓCRATES – Mênon, creio que isso seja um indício de que tu e eu somos pouco habilidosos! Creio que nenhum de nós foi bem instruído; tu por Górgias, e eu por Pródico. Portanto, é preciso que nos consagremos com todo esmero a nós mesmos antes de tudo, a fim de buscarmos alguém que nos faça melhores do que somos, qualquer que seja o meio! É até ridículo não havermos notado até aqui que a ciência não é único método disponível para dotar os homens de conhecimento e torná-los hábeis a conduzir seus negócios! Ou, talvez, ainda fazendo esta concessão, havendo outro método, poderia ser que ainda assim a forma como alguém se torna virtuoso continuasse obscura para nós!

MÊNON – Que queres dizer agora, Sócrates?!”

“SÓCRATES – (…) Escuta: se alguém que soubesse o caminho até Larissa estivesse no meio da estrada e servisse de guia a outros, não te parece que conduziria muito bem essas pessoas?!?

MÊNON – Não tenho dúvida.

SÓCRATES – E se um outro conjeturasse com precisão qual seria o caminho, ainda que nunca o houvesse percorrido, nem tivesse ouvido falar ou lido ou aprendido de outrem sobre isso; não daria no mesmo, i.e., não ensinaria adequadamente quem lho perguntasse?

MÊNON – Sim, Sócrates.

SÓCRATES – Tendo, um, uma mera opinião e, o outro, um conhecimento completo do objeto, não será pior condutor aquele que este? Ainda que, por puro azar, soubesse a resposta, não concordas que o guia experimentado o superaria no papel de educador?

MÊNON – Tens razão.

SÓCRATES – Então, eis outro método de ensinar as coisas: a opinião que se mostra verdadeira. A ciência é o método clássico e seguro. Parece que ignoramos essa dupla faceta durante toda nossa discussão acerca da natureza da virtude. Havíamos concluído que só a ciência ensina a bem agir, ao passo que, agora vemos, a conjetura acertada produz o mesmo efeito!

MÊNON – Dou-te razão.

SÓCRATES – Portanto, a opinião verdadeira não é menos útil do que a ciência.

MÊNON – Mas Sócrates… O possuidor do conhecimento saberá sempre alcançar seu objetivo. Já o conjeturador se extraviará um bom número de vezes!

SÓCRATES – Que dizes? Mas se alguém se aferra a uma opinião correta e ensina-a, não é correto que ensina-a corretamente?

MÊNON – Esta conclusão eu não contesto, Sócrates. Mas se fosse um dilema tão simplório, me surpreenderia que não se falasse mais sobre a arte de bem opinar do que acerca de obter o conhecimento. Mais ainda me surpreende que tratemos estas coisas como duas completamente diferentes uma da outra, se é que tens razão!

SÓCRATES – Sabes donde procede esse teu assombro? Queres que to diga?

MÊNON – Ora, já estás perdendo tempo ao não pronunciá-lo logo de uma vez!

SÓCRATES – Nunca admiraste as estátuas consagradas a Dédalo? Há dessas em tua cidade?

MÊNON – Não entendo…

SÓCRATES – Estas esculturas, ó Mênon, quando seguras por molas, são facilmente detidas e fixadas; mas sem este artifício, escapam e fogem.

MÊNON – E…?

SÓCRATES – …E daí que não significa muito ter uma dessas estátuas que escapam fácil. Mas uma estátua fixa é de muito valor. Estas sim são consideradas obras-primas! Mas que tem isso a ver?, perguntarás… É que esta imagem vem a calhar para falar sobre opiniões e conjeturas… As opiniões acertadas são como estátuas com molas, e trazem toda uma sorte de benesses… Mas vê tu que a alma do homem não as capta por muito tempo… Tampouco são caras estas obras… Só mesmo a obra derivada de um conhecimento superior, erigido pela razão, possui um preço mais elevado. Isso, essa ciência, é o que chamo de reminiscência. Uma opinião coligada com outra, logo forma reminiscências, porque cadeias de opiniões nos evocam antigos conhecimentos adormecidos… O que no começo é frouxo e resvaladiço adquire fixidez e estabilidade com o tempo. Daí vem a superioridade da ciência sobre a opinião, Mênon.

MÊNON – Por Zeus, Sócrates! Não capto todos os detalhes de teu discurso, mas do que pude compreender vejo que faz todo o sentido!…

SÓCRATES – (…) E quando afirmo que a opinião verdadeira difere em qualidade da ciência, não creio, positivamente, estar emitindo uma opinião. De quase nada sei, mas se hei de exaltar algum conhecimento meu, ei-lo: o que sei, eu sei.

MÊNON – Tens toda razão!”

“SÓCRATES – A ciência não pode servir de guia nos negócios políticos.

MÊNON – Tudo indica que não.

SÓCRATES – Então não foi devido a sua sabedoria que homens como Temístocles e os demais que citei quando conversava com Anito bem governaram o Estado. Porém, devido a essa característica, eles não puderam comunicar adiante esse dom.

MÊNON – Sim, sim, continua!

SÓCRATES – Não sendo uma ciência, só a opinião verdadeira pode conduzir os políticos na boa administração das coisas públicas; quanto à sabedoria, os políticos não são em nada diferentes dos profetas e dos adivinhos em transe. Estes últimos anunciam muitas coisas verdadeiras, mas não sabem do que falam.

MÊNON – Com bastante probabilidade…

SÓCRATES – Mas que tem que o adivinho não seja dotado de inteligência? Se ao final ele adivinha mesmo assim?

MÊNON – Não há mal algum, efetivamente.

SÓCRATES – Temos razões de sobra, portanto, para chamar os profetas de homens divinos; nada diferente no que se refere aos poetas. E, como vimos, nada mais óbvio e evidente que atribuir o mesmo epíteto aos bons políticos, homens realmente entusiasmados, inspirados e animados pela divindade ao triunfarem sobre grandes empresas, sem ter nenhuma ciência exata daquilo que fazem!

MÊNON – Ó, certo!

SÓCRATES – As mulheres, com razão, chamam os homens virtuosos de divinos. Os espartanos, quando querem elogiar o homem de bem, dizem a mesma coisa.

MÊNON – Não vejo como contestá-lo, Sócrates, mas creio que Anito não ficará satisfeito!

SÓCRATES – Isso não me importa! Conversarei com ele em outra ocasião. Mas no que toca a ti e a mim, Mênon, concluíramos que a virtude não é natural ao homem, nem passível de aprender-se; ela como que aterrissa por influência divina entre os eleitos. A menos que nos apareça algum político que seja capaz de ensinar sua arte, não mudaremos de opinião! Se aparece tal figura, diremos que é, entre os vivos, o que Tirésias é entre os mortos, se havemos de dar crédito a Homero, que versa: O único sábio dos ínferos, onde todos os demais nada mais são que sombras que erram ao acaso.(*) Analogamente, um homem assim seria, comparado com os outros, em matéria de virtude, feito de carne e osso, ou a própria luz, ao passo que nós não passaríamos de sombras e de escuridão.

MÊNON – Sócrates, teu discurso foi perfeito!

SÓCRATES – Nada mais resta a dizer, Mênon: a virtude é um presente dos deuses!

(*) Odisséia X”

Para todos e para ninguém cabe a tarefa de evadir a caverna. E ninguém que a evada pode sequer convencer os outros ou forçá-los a evadi-la também, dadas as circunstâncias…

* * *

PREFÁCIO DAS OBRAS COMPLETAS DE PLATÃO POR VIRGINIA WOOLF – Trechos da tradução espanhola do inglês, reconvertidos para a Língua Portuguesa

(*) “Não conheço uma definição mais eloqüente e simultaneamente lacônica da obra platônica que a de Virginia Woolf. Assim, pois, com ela a palavra.” – A.P.V., 2012.

SOBRE NÃO SABER O GREGO

(*) “Esta tradução foi feita por mim; ela foi posteriormente polida e melhorada por Daniel Nisa em O leitor comum.” A.P.V.

“É um processo extenuante. Concentrar-se arduamente no significado exato das palavras; julgar o que implica cada admissão; seguir concentrada porém criticamente as oscilações dos discursos e as mudanças de opinião à medida que se endurece e se intensifica o diálogo rumo à verdade. São o mesmo o prazer e o bom? A virtude pode acaso ser ensinada? É a virtude uma espécie de ciência? Uma mente cansada ou distraída pode facilmente equivocar-se nesses meandros, enquanto tenta avançar, impiedosamente, por tais interrogatórios abrasivos e intermináveis. Mas ninguém, por mais despreparado para os ensinamentos de Platão, pode deixar de começar a amar, ainda que saia <sem nada aprender de concreto>, ou a amar cada vez mais, o próprio processo do conhecimento, como exposto por ele. À medida que o argumento ascende às nuvens, de grão em grão, de degrau em degrau, Protágoras (e Protágoras pode ser qualquer outro) vai cedendo um pouco, logo um pouco mais, Sócrates avança no mesmo ritmo, devagar mas firme. E o importante não é tanto o desfecho, mas a maneira como vai-se abrindo esse desfecho.”

“É uma noite de inverno; as mesas estão prontas e bem-servidas na ampla sala de Agaton. Uma escrava toca a flauta. Sócrates fez as abluções e veste sandálias. Pára à entrada. Recusa dar mais um passo, ainda quando mandam expressamente alguém vir recepcioná-lo. . . . Agora Sócrates acabou seu discurso. Escolheu Alcibíades para ser vítima de sua ironia neste epílogo de banquete. Alcibíades não pode responder com palavras, pois só consegue admirar este homem fora de série…”

“Descartaremos agora as diversões, ternuras, frivolidades da amizade, só porque aprendemos a amar a busca pela Verdade? A Verdade será encontrada mais depressa pelo fato de taparmos os ouvidos à bela música, de fecharmos a boca ao vinho, pelo fato de escolhermos dormir ao invés de virar a noite conversando? Não é o estudante enclausurado, o asceta, que se mortifica na solidão, que tem a palavra final. Então quem? A natureza ensolarada, o homem que pratica o auto-aperfeiçoamento cotidianamente, sem se deixar atrofiar pela repetição da vida, que saiba que algumas coisas possuem, de forma permanente, em meio a tudo, mais valor que outras.”

“Um povo que julgava tanto, como o ateniense, através dos sentidos básicos, como a audição, acostumados ao teatro de arena, ao ar livre, ou ao escutar discussões na praça e no mercado, era muito menos hábil do que nós para fatiar frases e apreciá-las fora do contexto original em que foram produzidas. Para eles não existiam as Belas Frases de Hardy e de Meredith, nem as Sentenças de George Eliot. Somos muito mais delicados e sutis, bon-vivants, dissecadores. O escritor antigo (e a platéia antiga) se atinha muito mais ao conjunto e muito menos ao detalhe.”

“ao citarmos e destacarmos passagens, trechos, distorcemos muito mais os gregos do que os ingleses. Há um aspecto de natural, de nudez, nesta literatura tão crua e límpida que pode ter um gosto azedo ou amargo para paladares contemporâneos, paladares refinados e seletos demais, acostumados a avaliar cada vírgula de obras impressas, reprovando sabores, regurgitando e detectando matizes. É-nos benquisto um esforço inaudito de alargar e distender a mente, a fim de captar esse conjunto onde não há parnasianismo nem nada de inútil, sem a ênfase moderna prestada à eloqüência. Olhamos sem pestanejar figuras em close, absorvemos palavras soltas, hipervalorizando-as, ou meditando demais sobre um nada. O grego tinha uma visão panorâmica, não se punha a caçar pulgas e lêndeas. Poderia soar até mesmo grosseiro. De fato parece que nosso olhar e nosso coração são estreitos demais para apreciar de um trago só emoções tão densas, capazes de cegar o espírito se contempladas e experimentadas diretamente, à grega.”

“Os gregos podiam dizer, acerca de seus antepassados conhecidos, como que pela primeira vez na História, que ainda que mortos, não morreram. E podiam complementar: Se morrer de forma nobre é parte indispensável da excelência, a Fortuna decidiu nossa sorte; a Grécia foi coroada pelos deuses, e aqui há liberdade, fez-se o Homem, de forma que, não importa quantas gerações transcorram, não envelheceremos.(*)”

(*) Simônides

“Ao lermos estas frases sucintas registradas em lápides, estrofes de um coro trágico, o final ou o começo dum diálogo de Platão, um fragmento de Safo, talvez, quando passamos o dia a remoer uma metáfora grandiloqüente do Agamêmnon de Ésquilo, ao invés de <cheirar todo o jardim>, como talvez fizessemos com uma obra dita <completa> como Rei Lear, não estaríamos lendo erroneamente, estrabicamente, num nevoeiro de associações absurdas, inserindo nos versos gregos coisas que não faziam falta aos próprios gregos, mas somente a nós? Detrás de cada linha já não se é auto-suficiente naquele mundo, já não se lê a Grécia em cada estrofe de Ésquilo ou de Sófocles?”

“Cada palavra tem o vigor da oliveira e do templo consagrado a algum deus e dos corpos dos jovens.”

“Não, paremos de tentar esgotar a sentença grega como o fazemos com o Inglês! Não há esse polimorfismo semântico paradoxalmente tão acessível porque vizinho nosso, nossa cultura mesma encarnada, digo, letrada. A linguagem é aquilo que mais escraviza, quando o assunto são os antigos. O desejo de desvendar o que está irremediavelmente perdido nos deixa eternamente hipnotizados pelas sereias e petrificados pela medusa.”

“Digo que Shelley necessita de 20 palavras em seu vernáculo para expressar 13 palavras do grego.”

“…toda pessoa, inclusive se antes houvera sido totalmente alheia às humanidades ensinadas na escola, se torna um poeta tão logo seja tocada pelo amor.” O Banquete

“Tudo isso para dizer que as traduções são mera equivalência um pouco vaga. Não é culpa dos tradutores. Fazemos ecos e associações demais, involuntariamente. […] Nem o erudito mais competente pode conservar a sutileza do acento, o vôo, a ascensão e a queda <icárea> das palavras:

…A ti, que eternamente choras em tua tumba de pedra.” Electra

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas – Tatiana Roque, 2012. – CAPÍTULO 7. O século XIX inventa a matemática “pura” ou “A ERA DO RIGOR”

“no século XIX, a análise matemática adquiriu a forma que reconhecemos, ainda hoje, como válida. O movimento de rigorização pode ser dividido em duas fases: uma francesa, na qual se destaca a figura de Cauchy; e outra alemã.”

“não bastava reconhecer que infinitésimos, ou limites, eram fundamentos inadequados para a análise; uma doutrina positiva se fazia necessária.”

“Não que os matemáticos, preocupados com um suposto estado caótico de sua disciplina, tenham feito uma reunião e combinado os novos padrões que deveriam substituir os que estavam em uso. Os pesquisadores do século XVIII sequer percebiam seus métodos como pouco rigorosos ou desorganizados. Portanto, não podemos afirmar que seus resultados carecessem de rigor, como se eles tivessem o objetivo de avançar sem preocupações com a fundamentação de seus métodos. A noção de rigor se transformou na virada do século XVIII para o XIX porque os matemáticos da época se baseavam em crenças e técnicas que não eram mais capazes de resolver os problemas que surgiam no interior da própria matemática. Ou seja, isso não se deu por preocupações formalistas, nem por um interesse metamatemático de fundamentar essa disciplina. O rigor é um conceito histórico, e a noção de rigor de Lagrange era diferente da de Cauchy, que, por sua vez, também seria criticado por Weierstrass, baseado em sua própria concepção aritmética.”

“A discussão sobre as quantidades negativas, durante o século XVIII, mostra que somente os números absolutos eram aceitos, pois se pretendia relacionar a existência em matemática a uma noção qualquer de <realidade>. Para avançar, era preciso migrar para um conceito abstrato de número não subordinado à ideia de quantidade.”

“Por volta de 1800, a matemática era teórica e prática ao mesmo tempo. Fazia parte de seu projeto representar a natureza por equações, e os matemáticos teóricos se viam como pertencentes à mesma tradição inaugurada por Newton e outros. Uma das consequências da reflexão sobre a estrutura interna da matemática, que ocupou o século XIX, foi a sua separação da física. Ainda que procurasse se estabelecer como uma disciplina independente, a análise do século XVIII era motivada por problemas físicos que continuaram a exercer grande influência por alguns anos.”

“Ainda que, desde o século XVII, as entidades algébricas tenham adquirido um lugar de destaque na matemática, até o final do século XVIII as raízes negativas e imaginárias de equações eram consideradas quantidades irreais. Os números que hoje chamamos de <irracionais> apareciam na resolução de problemas, mas também não tinham um estatuto definido.”

“A partir daí, a noção de função terá um papel central na matemática, no lugar das curvas ou das expressões analíticas que as representavam. A expressão <ponto de vista dos Conjuntos> não se refere ainda à teoria dos conjuntos. Essa distinção é importante em nossa abordagem, pois pretendemos contextualizar as contribuições de Cantor¹ para a definição de conjunto no desenvolvimento conceitual e abstrato da matemática na Alemanha, ligado aos nomes de Dirichlet, Riemann e Dedekind.”

¹ Ainda hoje tratado como louco e contestado na própria Matemática.

“Os métodos sintéticos voltaram a ser defendidos e o valor atribuído à possibilidade de generalização fornecida pela álgebra passou a ser criticado em prol de métodos que pudessem ser mais intuitivos. O ápice desse movimento ocorreu em 1811 e um de seus protagonistas foi Lazare Carnot.”

“Nos últimos anos do século XVIII, Laplace adquiriu grande poder na cena francesa, sobretudo depois de se tornar ministro, com o golpe de Napoleão, em 1799. A partir daí, ele passou a incentivar uma padronização do ensino na École Polytechnique com base na análise e na mecânica. O curso de análise deveria ser dividido em 3 partes: análise pura (ou análise algébrica); cálculo diferencial; e cálculo integral. Além disso, a introdução ao cálculo deveria ser feita com base no método de limites, exposto por Lacroix.”

“Segundo Schubring, Lazare Carnot é o melhor símbolo da discussão sobre o rigor em análise que teve lugar na França naquele momento, anteriormente esboçada por d’Alembert. As principais contradições dessa reação consistiam em tentar obter, ao mesmo tempo, uma maior generalização da matemática, mas mantendo o apelo à intuição. Em 1797, Carnot já havia publicado uma obra sobre os fundamentos do cálculo chamada Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal (Reflexões sobre a metafísica do cálculo infinitesimal), segunda versão de um texto de 1785.”

“Não houve descoberta que tivesse produzido, nas ciências matemáticas, uma revolução tão feliz e tão rápida quanto a da análise infinitesimal; nenhuma forneceu meios mais simples, nem mais eficazes, para penetrar no conhecimento das leis da natureza. Decompondo, por assim dizer, os corpos até os seus elementos, ela parece ter indicado sua estrutura interior e sua organização; mas, como tudo o que é extremo escapa aos sentidos e à imaginação, só se pôde formar uma ideia imperfeita desses elementos, espécies de seres singulares que tanto fazem o papel de quantidades verdadeiras quanto devem ser tratados como absolutamente nulos e parecem, por suas propriedades equívocas, permanecer a meio caminho entre a grandeza e o zero, entre a existência e o nada.” Carnot

“Mas sua posição mudará depois dessa data. Carnot foi exilado por razões políticas e retornou à França em 1800, graças a Napoleão, que o designou ministro da guerra. Em pouco tempo, contudo, renunciou ao cargo e passou a se dedicar às questões ligadas aos fundamentos da matemática, publicando, em 1813, uma nova edição de seu livro. Nessa nova versão, reviu suas posições sobre a álgebra, afirmando que seus princípios são ainda menos claros do que os do cálculo infinitesimal. Tal posição refletia a concepção mais geral da época, que voltava a valorizar a geometria e o saber dos antigos. Inspirado por essa tendência, Carnot passou a defender o método dos infinitamente pequenos contra o dos limites e propôs seguir os princípios de Leibniz em análise.”

“Maine de Biran integrou uma segunda geração do grupo dos idéologues franceses e atacou os defensores da álgebra, destacando o caráter obscuro de seus métodos. Segundo ele, a linguagem algébrica é uma prática cega e mecânica que não possui a clareza da geometria.”

“A noção de função será então definida antes das noções de continuidade, limite e derivada, a fim de eliminar as incertezas ligadas à concepção sobre essas noções.”

“Quando quantidades variáveis são ligadas de modo que, quando o valor de uma delas é dado, pode-se inferir os valores das outras, concebemos ordinariamente essas várias quantidades como expressas por meio de uma delas que recebe, portanto, o nome de <variável independente>; e as outras quantidades, expressas por meio da variável independente, são as que chamamos funções desta variável.” Cauchy

“Durante muito tempo a historiografia da matemática enxergou Cauchy como o pai fundador do movimento de rigor na análise, até que começaram a ser identificados alguns erros em sua concepção de continuidade. As duas imagens são as duas faces da mesma moeda. Ao procurar na obra desse matemático francês antecedentes das noções modernas em análise, podemos nos deparar com erros que frustrarão nossas expectativas. Pensamos ser mais proveitoso ver Cauchy como um homem de seu tempo, que buscava um tipo de rigor que já não era o do século XVIII, fundado na algebrização, mas que também não era o rigor típico do século XIX. Para ele, o conceito de continuidade era fundamental, e essa idéia se associava ao universo das curvas. A noção de função se relacionava implicitamente a essas curvas, uma vez que exemplos de funções que não podem ser vistas como curvas ainda não intervinham na matemática da época.”

“A matemática não era a ferramenta central de uma busca especulativa pela verdade, e sim o elemento principal de uma cultura ligada à engenharia. Esse papel da matemática ajudou a configurar um certo espírito de corpo na elite francesa, que adquiria uma identidade científica. A Revolução democratizara o ideal meritocrático, que substituiu os critérios de nascimento no acesso aos serviços. A admissão na École Polytechnique passou a se dar por concurso e a matemática ganhou status nessa meritocracia, uma vez que tal saber era tido como capaz de medir a inteligência.”

“A física matemática e a mecânica celeste eram os principais campos de pesquisa dos matemáticos franceses no século XIX. Eles procuravam estudar as equações que governam fenômenos físicos em mecânica dos fluidos, eletrostática e eletrodinâmica, teoria do calor e da luz, etc. A análise complexa, desenvolvida por Cauchy, emergiu do estudo de equações diferenciais parciais, ligadas a problemas físicos. Em 1824, o secretário perpétuo da Academia de Ciências de Paris, Joseph Fourier, ao relatar os avanços daquele ano, proclamava: O tempo das grandes aplicações das ciências chegou.”

“Existia uma separação entre, de um lado, a física matemática e a mecânica celeste; e, de outro, a mecânica que lidava com artefatos para a engenharia ou a indústria. Além disso, havia também a geometria, que trabalhava com instrumentos óticos e sobrevivia desde o século XVII. Mesmo para Cauchy o rigor não era uma restrição nem um objetivo em si mesmo; era a condição para o desenvolvimento de métodos gerais com vistas à aplicação. A prática da matemática não era muito valorizada por si mesma, sobretudo em comparação com seu desenvolvimento na Alemanha das décadas seguintes.

Ao afirmarmos que a pesquisa matemática na França inspirava-se nas aplicações não queremos dizer que sua orientação não fosse eminentemente teórica. O domínio de aplicação de uma teoria era tanto maior quanto mais elevado era seu ponto de vista. Esse princípio levava à busca de uma ciência derivada de uma ideia unificadora, caso da análise para Lagrange. O mesmo princípio levou Fourier a constituir sua análise sobre as séries trigonométricas. Logo, como afirma B. Belhoste, o movimento de teorização não se opunha às aplicações; encontrava nelas sua inspiração. O interesse pela solução de problemas de física ou de engenharia e a busca por teorias cada vez mais gerais eram os dois lados da mesma moeda.” Quanto mais se abre a perspectiva de uma “ciência ‘x’ aplicada”, mais se consolida a ciência “x” em sua modalidade teórico-epistemológica – vide desdobramentos da psicanálise científica no século XX. O “científica” como sobrenome da psicanálise eu insiro aqui num sentido extra-moral: os acadêmicos empiricistas, psicólogos de araque e teólogos que se virem para desmoralizá-la, ou seja, aplicar sua crítica enviesada e altamente interessada… Contra ou a favor da Psicanálise como um todo, não poderíamos ter a má-fé de considerá-la um esoterismo judaico, como alguns proto-nazistas insinuaram e ainda insinuam…

“Paris deixava de ser o principal centro da atividade matemática e a École Polytechnique perdia seu caráter inovador. O clima de autoritarismo do final do Segundo Império tornou ambíguo o papel da matemática, que era divorciado da pesquisa. Seu estudo era incentivado, acima de tudo, por sua utilidade prática no treinamento de engenheiros e a sociedade se interessava cada vez menos por pesquisas teóricas e abstratas.”

“A invasão napoleônica, no início do século XIX, motivou a necessidade de elevar o nível de sofisticação militar e científica da Alemanha. Os alemães explicavam a própria derrota apontando para o alto nível de educação científica dos franceses, consequência da reforma educacional implantada após a Revolução Francesa. O traço característico das universidades que se desenvolviam na Alemanha a partir de 1810 era o papel indissociável entre o ensino e a pesquisa. Essa estreita relação permitia aos professores ir além dos cursos padronizados e elementares, baseados em livros-textos, para introduzir novos resultados, ligados a pesquisas.

O estilo dos matemáticos alemães da época pode ser explicado, em grande parte, pela proximidade com a faculdade de filosofia e pelo contato com filósofos. Promoviam-se, assim, orientações mais teóricas, motivadas também por pressuposições filosóficas. O grupo dos neo-kantianos do início do século XIX, que se opunha ao idealismo de Hegel, exerceu forte influência sobre diversos matemáticos alemães algumas décadas depois. Os valores neo-humanistas enxergavam a matemática como uma ciência pura, o que era expresso na visão de vários pensadores da época. Os conceitos fundamentais deviam ser definidos por meio de outras definições claramente explicitadas e nunca se basear em intuições [e isso foi empreendido por neo-kantianos, quão paradoxal!].”

Por favor, não metam Kant no meio! “A matemática em si mesma, ou a assim chamada matemática pura, não depende de suas aplicações. Ela é completamente idealista; seus objetos, número, espaço e força, não são tomados do mundo externo, são idéias primitivas. [Que não derivam do espaço, do tempo, logo do contável, nem do princípio da causalidade! Ok!] Eles seguem seu desenvolvimento independentemente, por meio de deduções a partir de conceitos básicos. … Qualquer adição de aplicações ou ligação com estas, das quais ela não depende, são, portanto, desvantajosas para a própria ciência.”

“Os matemáticos não eram mais vistos como práticos; participavam de uma elite intelectual de professores universitários que valorizava o saber puro, principalmente no contexto das humanidades enfatizadas por Humboldt.” Nada mais inconcebível para o Brasil em qualquer período.

“Em Berlim, a matemática passou a se basear em noções puramente aritméticas. Nessa atmosfera, Cantor recebeu sua educação matemática entre 1863 e 1869. Weierstrass preferia apresentar seus resultados nos cursos, por isso eles permaneceram praticamente inéditos até 1895, quando foi editado o primeiro volume de suas obras. Mas, durante os anos 1870, sua fama se espalhou. Muitos convidados vinham assistir a seus cursos e escreviam anotações que acabavam circulando. No final do século, a noção de rigor defendida por Weierstrass se tornou predominante, repousando sobre a aritmetização da matemática, conforme essa tendência foi denominada por Felix Klein em 1895, na ocasião do aniversário de 80 anos de Weierstrass.”

“As tentativas anteriores de assegurar as bases ontológicas dos conceitos fundamentais da matemática a partir da relação com uma certa realidade, não importa qual fosse, colocavam os alicerces dessa disciplina no mundo externo.”

Dizia eu que a aritmética não existe, a priori…

“Os seguidores de Al-Khwarizmi resolviam equações e admitiam o caso de raízes irracionais. Ao traduzir o termo grego alogos, que também possui o sentido de <inexprimível>, essas soluções foram chamadas de <mudas> (jidr assam). Nas versões latinas, a designação árabe foi, algumas vezes, traduzida por <números surdos>, que é como os irracionais ficaram conhecidos. Como mencionado no Capítulo 4, os métodos algébricos adquiriram grande autonomia com os árabes (começando a ficar independentes com relação à geometria). Além dos irracionais quadráticos, eles calculavam raízes de ordem qualquer, obtidas pela inversão da operação de potenciação e aproximadas por métodos elaborados que também permitiam resolver equações numéricas.”

“Em 1585, o holandês Simon Stevin publicou um texto de popularização em holandês e francês, chamado De Thiende (O décimo, traduzido para o francês como La disme), defendendo uma representação decimal para os números fracionários e mostrando como estender os princípios da aritmética com algarismos indo-arábicos para realizar cálculos com tais números. Apesar de seu sistema ser bastante complexo, sem o uso de vírgulas, o fato de escrever as casas decimais de um número tornava mais evidente a possibilidade de se aumentar o número de casas, o que é útil se quisermos aproximar um número irracional por um racional.

A introdução da representação decimal com vírgulas foi um passo importante na legitimação dos irracionais, uma vez que fornecia uma intuição de que entre dois números quaisquer é sempre viável encontrar um terceiro, aumentando o número de casas decimais. Nota-se, por meio dessa representação, que, apesar de os irracionais escaparem, é possível que racionais cheguem muito perto.”

Raiz de 2 ao longo do tempo, conforme os matemáticos se tornavam cada vez mais especializados em sua “decifração”:

3/2 =1,5
7/5 = 1,4
41/29 = 1,41379310…
99/70 = 1,41428571…
17/12 = 1,41666…

Numa linha contínua (eixo x), apenas as divisões (3) e (4) chegavam mais próximas do que seria a “raiz de 2”.

Descoberta, no séc. XVII, do TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA: “O nº de raízes de uma equação é dado pelo seu grau.”

Ex: 2x⁴ + 5x³ − 35x² − 80x + 48 = 2(x + 3)(x + 4)(x − 4)(x − ½) = 0

“Obviamente, para admitir esse número de soluções, será necessário admitir como válidas as soluções que Girard designa <impossíveis>. Mas para que servem essas soluções se elas são impossíveis?”

“tanto as verdadeiras raízes quanto as falsas não são sempre reais, mas às vezes apenas imaginárias; o que quer dizer que podemos sempre imaginar tantas quanto dissemos em cada equação, mas às vezes não há nenhuma quantidade que corresponda àquelas que imaginamos.” Descartes, The Geometry, livro III, p. 86, tradução da própria Tatiana Roque.

“O exemplo utilizado [por Descartes] para ilustrar esse caso é o da equação dada por x³ − 6x² + 13x − 10 = 0, para a qual podemos imaginar três soluções, das quais apenas uma é real, dada pelo número 2. Quanto às outras, mesmo que as aumentássemos, diminuíssemos ou multiplicássemos, não conseguiríamos fazer com que deixassem de ser imaginárias. A palavra <imaginária>, talvez devido à grande influência da obra de Descartes, passará a ser a mais usada para designar essas quantidades.”

“Enquanto um número negativo −a era entendido como 0 − a, não se punha o problema de defini-lo em si mesmo.” “Em alguns tratados do século XV os resultados negativos eram usados sem grandes discussões.” “É interessante observar que números negativos, quando apareciam nos cálculos, podiam ser chamados <negativos>, entretanto, quando representavam a solução de uma equação eram ditos <fictícios>.” “Apesar de afirmar explicitamente que a raiz quadrada de um número negativo não é correta, Cardano não se privava de operar com raízes de números negativos.”

“Bombelli não usava essa notação. Designando a raiz quadrada por R.q. e a raiz cúbica por R.c., escrevia que R.c. 2.p.dm.R.q.121 + R.c. 2.m.dm.R.q.121. Observamos que ele usava a notação dm.R.q.121 para (raiz quadrada ou simples de -121), o que é diferente de R.q.m.121 [o que diabos é o “d”? ver abaixo!]. Isso indica que a sua notação para (raiz quadrada ou simples de -121) privilegiava a operação realizada com esse número e não o número obtido como raiz de uma quantidade negativa.”

“p.dm., que é a abreviação para più di meno, em italiano, designa que estamos somando a raiz quadrada do nº negativo 121 e m.dm., abreviação de meno di meno, designa a subtração dessa mesma quantidade.”

“A historiografia retrospectiva da matemática, praticada, por exemplo, por Bourbaki, chega a afirmar que più, meno, meno di meno e più di meno são, respectivamente, 1, −1, −i e i.” “porém, dizer isso hoje soa inadequado. A razão é porque o símbolo i será utilizado como uma unidade imaginária, ao passo que più di meno e meno di meno contêm em suas expressões as idéias de adição e de subtração, ou seja, relacionam-se a operações.”

numerro e³zat0

“A introdução de uma nova notação, com os trabalhos de Viète, desviou a atenção dos matemáticos que sucederam os algebristas do século XVI, e ele não admitia nem números negativos e imaginários como raízes de equações, apesar de operar com a regra dos sinais de modo pragmático.”

“O livro de Arnauld Nouveaux éléments de géometrie (Novos elementos de geometria) traz o primeiro debate explícito entre dois matemáticos sobre o modo de conceber as quantidades negativas. Schubring mostra que Arnauld recorre a justificativas geométricas, similares às de Cardano, para defender que <menos com menos deve dar menos>. Seu opositor, Prestet, mencionado no Capítulo 6, afirma, ao contrário, que as quantidades negativas devem ter o mesmo estatuto das positivas. Além disso, a regra dos sinais deve ser provada algebricamente e não geometricamente, como Cardano havia proposto e Arnauld justificado.”

“Uma novidade é que suas considerações eram escritas em francês e não em latim, como antes. Logo, tiveram grande impacto nos meios cultos franceses até o início do século XVIII.”

TODA RAIZ É UMA CURVA (NENHUMA POTÊNCIA É LINEAR), O MUNDO MESMO É CIRCULAR! “Pascal e Barrow afirmavam que números irracionais deviam ser entendidos somente como símbolos, não possuindo existência independente de grandezas geométricas contínuas. Um número como (raiz de 3), por exemplo, deveria ser entendido como uma grandeza geométrica. § Com Leibniz e Newton, o cálculo infinitesimal passou a usar sistematicamente as séries infinitas. A noção de que a um ponto qualquer da reta está associado um número ficava implícita.” Comentário acima sobre a raiz de 2 e suas 5 respostas.

“Nesse período, o cálculo de áreas já estava distante da tradição euclidiana e buscava associar a área a um número. O método utilizado era baseado, primordialmente, na manipulação de séries infinitas, como já era o caso da técnica usada por Pascal e Fermat descrita no Capítulo 6. A solução de problemas envolvendo quadraturas e equações diferenciais fez proliferar o uso dessas séries.”

“Arquimedes já havia encontrado limites para a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência, e outros matemáticos já tinham aproximado o valor dessa razão, mas no contexto do cálculo leibniziano se colocará o problema de admitir π como um número.”

“No século XVI, alguns matemáticos, como M. Stifel, já haviam aventado a hipótese de a quadratura ser impossível. Para demonstrar isso, era necessário verificar que o perímetro não está para o diâmetro assim como um número inteiro para outro. Em meados do século XVIII essa possibilidade não surpreendia mais os matemáticos, sobretudo devido à grande variedade de séries infinitas que se relacionavam à quadratura do círculo. Se a soma dessas séries for uma quantidade racional, ela será um número inteiro ou uma fração; caso contrário, pode ser um número transcendente. Desde o século XVII eram fornecidas diversas aproximações para o valor da razão entre o diâmetro e a circunferência do círculo. Mas apenas em meados desse século os matemáticos perceberão que, ao invés de buscar o verdadeiro valor de π, poderiam mostrar que não há <verdadeiro valor>, ou que esse valor é impossível.”

“A designação de número <real> começou a ser empregada por volta de 1700 para distinguir essas quantidades das negativas e imaginárias, que ainda não eram consideradas reais.”

“Durante os séculos XVII e XVIII, com o estudo das funções transcendentes o logaritmo se tornou um conceito importante para esclarecer as ferramentas algébricas da análise e dar-lhes consistência.”

“Clairaut seguiu a mesma linha de Fontenelle, admitindo quantidades negativas como soluções das equações. No entanto, os escritos de ambos foram atacados duramente por d’Alembert, que, na Encyclopédie, criticou radicalmente a aceitação dos números negativos, atitude que, conforme seu pensamento, partia de uma falsa metafísica. Do mesmo modo, devia se rejeitar, ainda segundo ele, a generalidade obtida pela álgebra na resolução de equações. Essa posição contradizia sua defesa do poder de generalização da álgebra no contexto da análise, mas, para d’Alembert, na resolução de equações o uso da álgebra dava lugar a uma metafísica equivocada sobre as quantidades negativas. Ou seja, podia-se aceitar a regra dos sinais nas operações, no entanto não era legítimo conceber quantidades negativas como sendo menores que zero, pois essa idéia é incorreta.

A ruptura provocada por d’Alembert devia-se às suas posições em relação ao logaritmo de números negativos, que requeria a intervenção de números imaginários. Em uma controvérsia com Euler, que descreveremos a seguir, d’Alembert acreditava que esses logaritmos deviam ser reais, o que tentava demonstrar a todo custo. Isso o fez questionar, em geral, o estatuto dos números negativos, evitando o problema de dar consistência a seus logaritmos.”

Se log(1) = 0, aceitar-se-ia log(-1) = 0?

“Logo, um nº e seu oposto devem possuir o mesmo logaritmo. Leibniz tinha enunciado a regra de que a derivada de log(x) é igual a 1/x, mas afirmava que ela só era válida para valores reais de x.”

“os logaritmos de números negativos devem ser imaginários, e não reais.”

“notações como o símbolo (raiz de -1) só começaram a ser usadas no final do séc. XVII.”

“D’Alembert registrou em 1784, em sua Encyclopédie, a importância de seu próprio trabalho nos verbetes denominados Équation e Imaginaire. Ele ressaltava ter sido pioneiro em demonstrar que qualquer quantidade imaginária, tomada à vontade, pode sempre ser reduzida à forma (e + função de raiz de -1), com e e f sendo quantidades reais.”

“Euler já via a álgebra como uma ciência dos números, e não das quantidades. Para ele, todas as grandezas podiam ser expressas por números e a base da matemática devia se constituir de uma exposição clara do conceito de números e das operações. Entretanto, suas propostas não foram reconhecidas no século XVIII. Para Euler, o modo de se obter os números negativos era similar ao modo de se obter os positivos.”

“Chega a ser surpreendente, logo depois de 1800, o número de trabalhos sobre a representação geométrica dos negativos e imaginários escritos por pessoas que não participavam da comunidade matemática. Um exemplo conhecido é o do dinamarquês Caspar Wessel, mas no meio francês houve também o caso do padre Adrien-Quentin Buée, que não integrava a comunidade científica.”

“Outro personagem mítico é Jean-Robert Argand. Na historiografia tradicional, diz-se que se tratava de um suíço, amador em matemática, que trabalhava como guardador de livros. Mas essa versão é falsa. Hoje só se pode afirmar que, entre 1806 e 1814, um certo Argand parece ter sido um técnico que estava a par do desenvolvimento da ciência na época.”

“Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, a primeira revista especializada em matemática, editada fora de Paris por J.D. Gergonne.” “Argand publicou, ainda em 1813, nos Annales de Gergonne, o artigo Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas).” “Supondo uma balança com dois pratos, A e B. Acrescentemos ao prato A as quantidades a, 2a, 3a, 4a, e assim sucessivamente, fazendo com que a balança pese para o lado do prato A. Se quisermos, podemos retirar uma quantidade a de cada vez, restabelecendo o equilíbrio. E quando chegamos a 0? Podemos continuar retirando essas quantidades? Sim, afirmava Argand; basta acrescentá-las ao prato B. Ou seja, introduz-se aqui uma noção relativa do que <retirar> significa: retirar do prato A significa acrescentar ao prato B. Desse modo, as quantidades negativas puderam deixar de ser <imaginárias> para se tornarem <relativas>. [Nasce aí] a grandeza negativa –a”

“Na balança de Argand, o 0 pode ser visto como ponto de apoio entre os braços. Esse 0 não é propriamente um <nada>, nem o número negativo é um <menos que nada>; o 0 é o referencial que permite a escolha (decisão) de uma orientação que tornará um número positivo ou negativo. Se considerarmos os números um agregado de coisas, como uma pluralidade, o +1 será sempre ligado a acrescentar algo mais, operação que pode ser repetida infinitas vezes, mas não o inverso. A balança de Argand consegue reverter essa dessimetria entre positivos e negativos e o 0 pode ser visto como ponto de apoio dos braços que devem se reequilibrar, à direita e à esquerda, enquanto colocamos pesos em cada um dos pratos ou deles os retiramos.” “A multiplicação deve ser entendida agora como uma rotação em sentido horário, quando se multiplica por (- raiz de -1); e anti-horário quando se multiplica por (+ raiz de -1)” “Temos então, no lugar de uma reflexão, uma rotação.”

“Essas primeiras propostas sobre o fundamento dos negativos e imaginários, apresentadas por pensadores que não eram centrais na matemática, revelam que o pensamento da época tinha necessidade de se apoiar em uma epistemologia baseada em uma relação geométrica com a realidade. A tentativa de estender a análise às variáveis complexas, feita por Cauchy, trazia novos problemas e, logo, uma nova demanda quanto à definição desses números de modo formal. A matemática que se desenvolverá a partir de meados do século XIX passará a privilegiar a coerência interna dos enunciados e a definição de seus objetos prescindirá dessa conexão com o mundo externo. A concepção de objetos matemáticos plenamente abstratos é marcante no trabalho de Gauss sobre os números imaginários, o que sugerirá que esses números sejam admitidos em matemática tanto quanto os outros, não sendo mais chamados de <imaginários> e sim de <complexos>.”

“Quando, em 1831, Gauss publicou o que denominava <metafísica das grandezas imaginárias>, no artigo Theoria residuorum biquadraticum (Teoria dos resíduos biquadráticos), já tinha renome. Foi o primeiro matemático influente a defender publicamente as quantidades imaginárias, desde seus trabalhos sobre a demonstração do teorema fundamental da álgebra, editado em 1799. De certo modo, pode ser visto como um homem do século XVIII, por não distinguir suas pesquisas das realizadas em física, astronomia e geodésia, além de escrever em latim. Contudo, seus temas de estudo e suas ideias sobre a matemática, sobretudo sua concepção de rigor, aproximam-no das novas tendências do século XIX.”

“Na Alemanha, a influência da filosofia de Kant fazia com que os matemáticos se baseassem em concepções epistemológicas diferentes dos franceses. Como mostra Schubring, Gauss retirou boa parte de suas teorias sobre os números negativos e complexos dos trabalhos de um professor do secundário chamado W.A. Förstemann, que, por sua vez, usou os escritos sobre os números negativos que Kant havia publicado em 1763 (Attempt to introduce the conception of Negative Quantities into Philosophy).”

“A aritmética generalizada, criada na Idade Moderna, era superior à geometria dos antigos, pois, partindo do conceito de inteiros absolutos, foi possível estender seus domínios passo a passo: de inteiros a frações, de números racionais a números irracionais, de positivos a negativos, de números reais a números imaginários.” “Basta lembrar que Gauss estava envolvido na invenção de uma nova geometria, não-euclidiana, que não se apóia na intuição. As restrições que os objetos matemáticos deviam sofrer para se adequarem ao espaço euclidiano deviam ser, de acordo com sua concepção, eliminadas.” “mas o passo decisivo para que o estatuto dos números complexos fosse firmemente estabelecido foi dado com a introdução da noção de vetor. Esse conceito apareceu na Inglaterra, no século XIX, nos trabalhos de W.R. Hamilton. No final desse século, o plano como conjunto de pontos e o plano como composto de vetores passaram a ser vistos como dois conceitos distintos.”

“Dirichlet havia estudado em Paris nos anos 1820 e logo se tornou fundamental para a disseminação da análise e da física matemática francesas na Alemanha. Havia participado do círculo de Fourier, que era secretário-geral da Academia de Ciências, onde Dirichlet conheceu Alexander von Humboldt, que promoveria sua carreira na Alemanha. Dirichlet trabalhou em Berlim até os anos 1850 e, no início da carreira, estudou e divulgou os trabalhos de Gauss sobre a análise de Fourier, a teoria da integração e a física matemática. Na época, a Universidade de Göttingen ainda não era um centro de matemática avançado. Gauss era professor de astronomia e não se via estimulado a transmitir suas descobertas a alunos pouco preparados.” “A presença de Dirichlet, juntamente com Riemann e Dedekind, que se via como seu discípulo, mudaria a matemática praticada na Universidade de Göttingen. Os três inspiravam-se em Gauss e propunham uma visão abstrata e conceitual dessa disciplina. Apesar das diferenças entre seus campos de pesquisa, eles convergiam nas preferências metodológicas e teóricas e podem ser considerados um grupo.”

“o exemplo de Dirichlet é tido como o primeiro passo para que se percebesse a necessidade de expandir a noção de função, uma vez que, nesse caso, esta não tinha nenhuma das propriedades admitidas tacitamente como gerais: não pode ser escrita como uma expressão analítica (segundo Dirichlet); não pode ser representada por uma série de potências; e não é contínua em nenhum ponto (também não é derivável nem integrável).” “Logo, o exemplo de Dirichlet só pode ser visto como uma função se esse conceito for entendido como uma relação arbitrária entre variáveis numéricas.” “Ou seja, apesar de aquilo que ele considerava <arbitrário> ser mais um caso particular do que se entende hoje do uso desse adjetivo, parecia importante, naquele momento, afirmar a generalidade como forma de questionar a redução da prática matemática ao escopo das expressões analíticas.”

“Depois da estranha função sugerida por Dirichlet, proliferarão exemplos de funções patológicas, sobretudo na segunda metade do século XIX, que incitarão uma revisão da definição de função. Um exemplo famoso desses <monstros>, como se dizia no meio, era a função construída por Weierstrass, que desafiava o senso comum da época. Por volta de 1860, Weierstrass adotava uma definição de função semelhante à de Dirichlet, mas, em 1872, apresentou à Academia de Ciências de Berlim um exemplo de função contínua não derivável em nenhum ponto. Esse tipo de função contraria nossa intuição geométrica de que uma função traçada continuamente, por um desenho a mão livre, deve ser suave, salvo em pontos excepcionais, ou seja, não pode ter bicos em absolutamente todos os seus pontos.

Diversos exemplos contra-intuitivos surgiram nesse período. Riemann foi responsável pela criação de alguns deles ao longo de seu estudo da integração; a investigação das séries trigonométricas também deu origem a funções bizarras, como a proposta por Du Bois-Reymond (que é contínua mas não pode ser desenvolvida em séries de Fourier); Hankel e Darboux construíram outras funções patológicas e investigaram suas propriedades. Antes, as funções surgiam de problemas concretos, como os de natureza física; agora vinham do interior da matemática, a partir dos esforços dos matemáticos para delimitar os novos conceitos que estavam sendo forjados e deviam servir de fundamento para a análise, como os de função, continuidade e diferenciabilidade.”

“A curva de Koch é obtida quando as iterações se repetem ao infinito. No limite, chega-se a uma curva contínua em todos os pontos que não é derivável em nenhum desses pontos (ou seja, é constituída exclusivamente por bicos).” Parece uma moita – um fractal.

“Antes desse momento supunha-se, de modo geral, que a reta contivesse todos os números reais. Por isso não havia preocupação em se definir esse tipo de número. Um exemplo disso foi visto anteriormente, no estudo das raízes de uma equação de grau ímpar, ao se admitir que o gráfico de uma função, positiva (para x positivo) e negativa (para x negativo), deve cortar o eixo das abscissas em um ponto que é assumido como um número real.”

“Cantor concluiu que a unicidade também pode ser verificada quando a série trigonométrica deixa de ser convergente, ou deixa de representar a função, em um número finito de pontos excepcionais. Logo depois, ele refinou mais uma vez o argumento, ao perceber que sua conclusão ainda era válida mesmo que o número desses pontos excepcionais fosse infinito, desde que estivessem distribuídos sobre a reta de um modo específico. Para estudar essa distribuição dos pontos, era necessário descrever os números reais de um modo mais meticuloso e detalhado, sem supor, implicitamente e de modo vago, que esses números fossem dados pelos pontos da reta.”

“A fim de caracterizar a continuidade, Dedekind julgava necessário investigar suas origens aritméticas. Foi o estudo aritmético da continuidade que levou à proposição dos chamados <cortes de Dedekind>. Ele começou por estudar as relações de ordem no conjunto dos números racionais, explicitando verdades tidas como óbvias, por exemplo: se a>b e b>c, então a>c. A partir daí, deduziu propriedades menos evidentes, como a de que há infinitos números racionais entre dois racionais distintos a e c. Dedekind notou que um racional a qualquer divide os números racionais em duas classes, A1 e A2, a primeira contendo os números menores que a; a segunda contendo os números maiores que a. Podemos concluir, assim, que qualquer número em A1 é menor do que um número em A2.”

“A argumentação de Dedekind recorria aos gregos para dizer que eles já sabiam da existência de grandezas incomensuráveis. No entanto, não é possível usar a reta para definir os números aritmeticamente, pois os conceitos matemáticos não devem ser estabelecidos com base na intuição geométrica.

Logo, era necessário criar novos números, de tal forma que <o domínio descontínuo dos números racionais R possa ser tornado completo para formar um domínio contínuo>, como é o caso da linha reta. A palavra usada para designar a propriedade da reta que distingue os reais dos racionais é <continuidade>, que seria equivalente ao que chamamos de <completude>. Apesar de Dedekind afirmar que é preciso <completar> os racionais, esse termo não era empregado com sentido técnico.”

“Apesar da compreensão comum da palavra <multiplicidade> estar associada à ideia de algo que é <múltiplo> (ou vários), não é nesse sentido que a estamos empregando, o que fica claro quando se fala de <uma multiplicidade>. Usamos <multiplicidade> para indicar algo que possui vários aspectos, ou várias dimensões.”

“Dedekind expôs essa questão em uma correspondência com outro matemático alemão, R. Lipschitz, aluno de Dirichlet, na qual diz que a continuidade do domínio das quantidades era uma pressuposição implícita dos matemáticos, além da noção de quantidade não ter sido definida de modo preciso. Até ali, os objetos da matemática, as quantidades, existiam e a necessidade de definir sua existência não se colocava. Ao contrário dessas suposições, no texto Was Sind und was Sollen die Zahlen? (O que são e o que devem ser os números?), Dedekind insiste que o fenômeno do corte, em sua pureza lógica, não tem nenhuma semelhança com a admissão da existência de quantidades mensuráveis, uma noção que ele rejeitava veementemente.” “Retomando as duas classes A1 e A2 definidas anteriormente, ele afirma que a essência da continuidade está no fato de que todos os pontos da reta estão em uma das duas classes, de modo que se todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe apenas um ponto que produz essa divisão.”

“Para obter um conjunto numérico que traduza fielmente a continuidade da reta, Dedekind usou um procedimento que se tornaria muito freqüente na matemática. Sempre que encontrarmos um número não-racional produzindo um corte, deveremos incluir esse número na nova categoria a ser criada, que deve admitir racionais e não-racionais. Ou seja, quando o corte é um número irracional, esse número será reunido aos racionais formando um conjunto, que gozará da propriedade de continuidade da reta, chamado de <conjunto dos números reais>.”

“A principal propriedade dos números racionais, que os torna essencialmente distintos dos reais, é o fato de poderem ser enumerados. O que é isso? Eles são pontos discretos, não-imbricados entre si, logo, podemos associá-los a números naturais e contá-los. O resultado dessa contagem será um número infinito, mas ela permite enumerar os racionais.

Essa propriedade levará Cantor a concluir que o conjunto dos números racionais é infinito de uma maneira distinta do conjunto dos números reais, que não podem ser enumerados. O procedimento de <enumeração> dos elementos de um conjunto é feito por meio da associação de cada um desses elementos a um número natural; e a associação é definida como uma função de um conjunto no outro, uma correspondência biunívoca entre seus elementos.” “Uma função é dita biunívoca se diferentes elementos no seu domínio estão associados a diferentes elementos no contra-domínio e se cada elemento y no contra-domínio está associado a algum x no domínio.

Podemos pensar na relação <ser filho de> entre os conjuntos A = {alunos de uma turma} e B = {mães dos alunos}. Tal relação constitui uma função, pois não há aluno sem mãe biológica (ainda que esta não esteja mais viva) e cada aluno possui apenas uma mãe biológica. Porém, essa função não é biunívoca, pois pode haver alunos irmãos, isto é, eles terão a mesma mãe (diferentes elementos do domínio com a mesma imagem).

Considere agora a relação <ser o dobro de> entre os conjuntos A = {números naturais} e B = {números pares}. Tal relação constitui uma função biunívoca, pois ao dobrar números naturais diferentes os resultados serão diferentes e cada número par é o dobro de algum número natural (a sua metade).”

“Nesse contexto surgirá a idéia de função como uma correspondência entre dois conjuntos numéricos. Se x é um elemento do conjunto dos reais, e n um elemento do conjunto dos naturais, pode ser estabelecida uma correspondência entre x e n, de modo que cada elemento de um conjunto seja associado a um, e somente um, elemento do outro? Essa é a pergunta que Cantor formula para Dedekind em 1873. Ele mesmo provou que é impossível encontrar tal correspondência, estabelecendo uma diferença fundamental entre o número de elementos (cardinalidade) do conjunto de números reais e o número de elementos do conjunto dos números naturais.

O conceito de correspondência biunívoca servirá de base para a constituição da nova teoria dos conjuntos, por volta de 1879. Dois conjuntos são ditos com a mesma <potência> se existe correspondência biunívoca entre seus elementos. Os conjuntos que possuem a mesma potência dos naturais são chamados <enumeráveis>, e os outros são <não-enumeráveis>. A resposta ao critério para que uma série trigonométrica represente uma função, fornecida por Cantor, repousa sobre essa diferenciação, e essa resposta é afirmativa no caso de a série deixar de convergir em infinitos pontos, contanto que eles formem um subconjunto enumerável da reta.”

“coisas distintas são entendidas de um mesmo ponto de vista quando consideradas a partir de seus números. Nesse caso, podemos dizer que essas coisas formam um conjunto.”

“O ponto de vista de Weierstrass também pode ser dito conceitual, mas de um modo diferente dos matemáticos de Göttingen, pois ele não tinha o mesmo entendimento do tipo de abstração que estava em jogo ao se definirem os conceitos básicos da análise. Cantor foi inspirado por Weierstrass, mas, como mostra Ferreirós, sua dedicação à teoria dos conjuntos levou-o a se afastar do grupo de Berlim. Ele chegou a ser criticado por Weierstrass, e o caráter abstrato de suas definições pode ser relacionado à influência crescente de Riemann e Dedekind em seus trabalhos, a partir dos anos 1880.”

“A história da análise matemática é vista, freqüentemente, como uma evolução dos conceitos intuitivos usados no cálculo do século XVII às definições rigorosas propostas pelo movimento de aritmetização da análise e pela teoria dos conjuntos. Um bom exemplo é o título do livro editado por Grattan-Guinness em 1980, From Calculus to Set Theory (Do cálculo à teoria dos conjuntos).”

“Na última metade do século XIX, Cantor teria introduzido o infinito na matemática, um dos ingredientes principais para o florescimento espetacular da matemática moderna. Na narrativa tradicional, a repulsa ao infinito, o horror infiniti, teria reinado entre os matemáticos desde os gregos, impedindo os avanços dessa ciência, até que Cantor venceu todas as barreiras e logrou fazer com que o infinito fosse, finalmente, aceito.” Ao preço da própria loucura…

“Eu espiei, através das páginas de Russell, a doutrina dos conjuntos, a Mengenlehre, que postula e explora vastos números que um homem imortal não atingiria mesmo se exaurisse suas eternidades contando, e cujas dinastias imaginárias possuem as letras do alfabeto hebreu como cifras. Não me foi dado entrar neste delicado labirinto.” Jorge Luis Borges

“Muitas narrativas do início do século XX atribuem a Cantor o papel de pai fundador da moderna teoria dos conjuntos. Como mostra Ferreirós na introdução dessa sua obra monumental sobre a história dessa teoria, em 1914 Hausdorff dedicou o primeiro manual da teoria dos conjuntos a seu criador, Cantor; e Hilbert escolheu a teoria dos conjuntos como um exemplo-chave do tipo de matemática defendida por ele, freqüentemente associada ao nome de Cantor.” “Mas muitos matemáticos e filósofos já haviam tratado rigorosa e positivamente da noção de infinito antes de Cantor. Só para dar dois exemplos na Alemanha: Dedekind, na matemática; e Hegel, na filosofia.” HM

“A noção de conjunto não é uma descoberta do século XIX executada por mentes geniais que, finalmente, desvendaram o fundamento correto da matemática, tido como eternamente válido e implícito em todos os tempos, mas que vinha sendo usado por pessoas ainda despreparadas para penetrar seu misterioso labirinto, como na citação de Borges. Preferimos pensar que a matemática efetivamente praticada pelos matemáticos do século XIX partia de pressupostos que os fizeram inventar noções que participavam de uma [cosmo-]visão conceitual e abstrata, propícia ao desenvolvimento da noção de conjunto e à sua aplicação em problemas de naturezas diferentes. Esse ponto de vista, que chamamos <conjuntista>, tem sua própria história, que não se identifica com a história da teoria dos conjuntos, como procuramos mostrar aqui.” “A teoria dos conjuntos emergiu, assim, da investigação de conjuntos concretos, encarados de modo cada vez mais conceitual e abstrato. Essa história é detalhada por Ferreirós. Usamos sua distinção entre a teoria dos conjuntos, como ramo da matemática, e a abordagem conjuntista, como concepção sobre a matemática, com o fim de caracterizar a imagem da matemática que moldou também a maneira de escrever sua história até meados do século XX.”

“A visão modernista da matemática prega uma renúncia ao mundo, uma vez que não se deve fazer geometria ou análise com os objetos dados pelo senso comum, mas sim construir o edifício da matemática sobre noções dotadas de uma consistência interna.”

“A imagem de que a matemática é um saber axiomatizado baseado nas noções de conjunto e estrutura foi popularizada por Nicolas Bourbaki, a partir de 1939, com o início da publicação de seus Éléments des mathématiques: les structures fondamentales de l’analyse (Elementos de matemática: as estruturas fundamentais da análise). <Bourbaki> é o pseudônimo adotado por um grupo de matemáticos franceses dos anos 1930 cujo objetivo era elaborar livros atualizados sobre todos os ramos da matemática, que pudessem servir de referência para estudantes e pesquisadores. Cada um desses ramos era visto como uma investigação sobre estruturas próprias, tendo como principal ferramenta o método axiomático. Uma de suas principais contribuições foi organizar as subdisciplinas da matemática, selecionando seus conceitos básicos, suas ferramentas e seus problemas. Nesse quadro, a definição de função usada por Dedekind e Cantor será considerada insuficiente e, em seu lugar, Bourbaki proporá:

Definição bourbakista de função: Sejam E e F dois conjuntos, que podem ser distintos ou não. Uma relação entre um elemento variável x de E e um elemento variável y de F é dita uma relação funcional se, para todo x pertencente a E, existe um único y pertencente a F que possui a relação dada com x. Damos o nome função à operação que associa, desse modo, a todo elemento x, pertencente a E, o elemento y, pertencente a F que possui a relação dada com x; y será dito o valor da função no elemento x.

Em seguida, essa primeira versão será reformulada e a função será definida como um determinado subconjunto do produto cartesiano dos dois conjuntos E × F. Ou seja, (…)” Ou seja: falaram merda sem pensar, tsk. “Conjunto e variação passam a ser idéias inconciliáveis.” Não se fala mais de x nem de y.

“A definição formal de função, que aprendemos na escola, segue o padrão bourbakista, o que provoca uma dificuldade de conciliação em relação aos exemplos de função que são efetivamente estudados. É difícil associar a noção dinâmica de função, que aparece em situações físicas, à definição formal, de natureza estática. Na história da física, a função serviu para estudar a variação, ou a mudança, a partir de uma escolha de variáveis relevantes em um certo fenômeno. Além dos exemplos físicos, as funções são exemplificadas por curvas ou expressões analíticas, que foram outros modos de conceber funções ao longo da história. Isso mostra que, isolada de seu contexto histórico, a definição de função e as funções que conhecemos durante nosso aprendizado de matemática não convergem. Podemos dizer que se trata de uma deficiência do ensino, porém, não fazemos essas considerações para discutir a educação.” Azar o seu, pois deviam.

“Nos Elementos de matemática de Bourbaki, cada um dos livros sobre certa sub-área era introduzido por um relato sobre a evolução histórica daquele assunto até ali. Esses relatos foram reunidos em um só volume, publicado em 1960 como Éléments d’histoire des mathématiques (Elementos de história da matemática), com critérios idênticos para avaliar as idéias importantes do presente e do passado. Não foi à toa que os bourbakistas se preocuparam em escrever uma história da matemática. Alguns de seus membros mais ilustres, como André Weil e Dieudonné, publicaram escritos de história independentemente do grupo, mas reproduzindo o mesmo ponto de vista. A historiografia tradicional da matemática, muitas vezes criticada por nós, foi impulsionada pelo estilo bourbakista.” “Foi, portanto, quando a matemática passou a se enxergar como matemática <pura> que a distinção entre teoria e prática se tornou importante na escrita de sua história.” A arrogância lhe subiu a cabeça e não quis mais andar com os primos… Uma conduta irracional!

“Por volta dos anos 1960, as ideias de Bourbaki contaminaram a educação, o que ajudou a cristalizar a concepção pouco, ou nada, histórica da matemática. Com o movimento da matemática moderna, que teve grande repercussão no Brasil, defendia-se que essa disciplina devia ser ensinada com os conceitos de base definidos à maneira bourbakista, que seria adaptada às nossas estruturas cognitivas. Nessa época, muitos matemáticos e educadores compartilhavam a crença de que os alunos têm de ser acostumados a pensar em termos de conjuntos e operações. Piaget chegou a estabelecer uma correspondência entre as estruturas defendidas por Bourbaki e as primeiras operações por meio das quais as crianças interagem com o mundo.” Não é o que a nossa posição nos rankings indica…

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Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures

Ferreirós, Labyrinth of Thought

Grattan-Guinness, The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann

Gray, Plato’s Ghost: the Modernist Transformation of Mathematics

Sir Isaac Newton, Two Treatises of the Quadrature of Curves

Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral

OS ALOGON: Uma história dos números irracionais

Trechos de artigo de LORIN, João Henrique & REZENDE, Veridiana, da Unespar/Fecilcam. Não sou o responsável pelo nem clamo a autoria do conteúdo entre aspas e fora de colchetes; o artigo original possui o mesmo título.

HISTÓRIA DA FÓRMULA DE BHASKARA (Índia) (PARTE I & PARTE II!): “Esse método para resolução de equações do 2º grau aparece oficialmente pela 1ª vez no tratado do indiano Aryabhata, por volta do século V d.C. Porém, comentários sobre este tratado foram escritos por Bhaskara I, em 629, e por Brahmagupta, em 628. Os comentários sobre os procedimentos de resolução de equações do 2º grau realizados por Brahmagupta foram citados mais tarde por Bhaskara II, autor de livros populares de aritmética e álgebra do século XII.”

“De acordo com Lorin (2009), o Teorema de Pitágoras causou um forte abalo nas explicações … acerca da origem e natureza do Universo – o problema da archê – que permeou a filosofia dos pré-socráticos. O abalo começou com as tentativas de se determinar a medida da diagonal de um quadrado, utilizando dados aritméticos decorrentes do [supracitado] teorema …”

“Como, para os pitagóricos, os números se resumiam aos inteiros positivos e às razões entre eles, não foi possível encontrar um número que correspondesse exatamente à medida do comprimento AC e, portanto, não conseguiram estabelecer nenhuma relação entre a medida encontrada e a medida do lado do quadrado.”

Parmên1des e Zerão

“com essa teoria das proporções, pode-se reabilitar a geometria, que se apresentava incompleta como deixada pelos pitagóricos” Lintz, 1999, sobre o legado de Eudoxo (da escola platônica)

“o método criado por Eudoxo <evitava as dificuldades dos infinitesimais renunciando simplesmente a eles, pela redução dos problemas que conduzem a infinitesimais a problemas que envolviam o uso da lógica formal> (STRUIK, 1992, p. 84).”

“o critério de convergência elaborado por Eudoxo aparece na proposição I do livro X dos Elementos de Euclides:

Sendo expostas duas magnitudes desiguais, caso da maior seja subtraída uma maior do que a metade e, da que é deixada, uma maior do que a metade, e isso aconteça sempre, alguma magnitude será deixada, a qual será menor do que a menor magnitude exposta (EUCLIDES, 2009, p.354).”

Essa proposição serviu como preparação para que se pudesse dar uma definição para grandezas incomensuráveis, que é a proposição II (…):

Caso[,] sendo subtraída, de duas magnitudes (expostas) desiguais, sempre por sua vez a menor da maior, a que é deixada nunca meça exatamente a antes de si mesma, as magnitudes serão incomensuráveis.”

“Um dos matemáticos mais conhecidos no período pós-euclidiano foi Arquimedes, sua obra tinha um caráter mais voltado para a resolução de problemas e não parece ter sofrido influência do método axiomático que caracteriza os Elementos de Euclides. Em uma de suas obras Arquimedes apresenta um processo infinito para estabelecer limites para a razão entre comprimento de uma circunferência e o seu raio, isto é, para o que chamamos hoje de ^PI (Roque, 2012).”

“A álgebra dos árabes ultrapassou a divisão entre número e grandeza, que era constituinte da matemática euclidiana. Além da teoria das equações, eles criaram um cálculo algébrico sobre expressões polinomiais e estenderam as operações aritméticas a essas expressões, bem como a quantidades que os antigos não consideravam números, caso dos irracionais.” ROQUE, 2012, p. 249.

“A matemática produzida pelos árabes teve influência tanto de matemáticos gregos quanto de matemáticos hindus – talvez seja esta dupla influência que produziu a tradição árabe de se tratar a álgebra tanto pela visão geométrica dos gregos quanto pela visão aritmética dos hindus.”

“Muitas traduções árabes de trabalhos hindus e gregos são as únicas cópias hoje conhecidas.”

BAUMGART, 1992

“Esta influência desses dois povos, hindus e gregos, na álgebra dos árabes também pode ser a resposta para [a] notação utilizada hoje[,] que chamamos de raiz quadrada e aparece na obra de matemático árabe Abu Kamil em 900.

“Kamil usava termos <quadrado> e <raiz>. Os gregos concebiam o 5 como o lado de um quadrado de área 25; os árabes, seguindo os hindus, concebiam o 25 como uma árvore que crescia a partir do número 5, sua raiz. Os dois conceitos aparecem em <raiz quadrada>. A palavra latina para raiz é radix; daí nossa palavra <radical>” (BAUMGART, 1992, p. 98.

“Por volta do ano 1200 o matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci deu uma contribuição específica sobre o número de ouro, que é um número irracional, em um dos seus problemas mais famosos, o problema dos coelhos publicado em seu livro Liber Abaci.”

“o objetivo de Viète era mostrar que a álgebra podia ser útil aos problemas de construção que tinham ocupado os gregos, uma vez que pretendia fundar uma nova álgebra com o mesmo prestígio da geometria (apud Roque)”

“Segundo Boyer (1996), o XIX é considerado o século de ouro da Matemática. (…) Vários matemáticos desse período ofereceram contribuições para a institucionalização do conceito de números irracionais. No entanto, no presente trabalho, optamos por descrever as contribuições dos matemáticos Cantor e Dedekind.”

“Para completar o domínio dos números racionais R para os reais, Dedekind (2008) introduz o conceito de Cortes. Cada Corte está relacionado a duas classes A₁ e A₂ de números racionais, denominado por (A₁,A₂).”

“Os Cortes que não são operados por números racionais possuem a propriedade referente à incompletude ou descontinuidade do domínio R dos números racionais. Cada vez que estamos na presença de um Corte (A₁,A₂) não operado por um número racional, nós criamos um novo número α correspondente a este Corte; dizemos que o número α corresponde a este Corte ou que ele opera este Corte. De agora em diante, todo Corte determinado corresponde a um e somente um número, racional ou irracional, e consideramos dois números como diferentes ou desiguais se e somente se eles correspondem a dois Cortes essencialmente distintos (DEDEKIND, 2008, p. 77, tradução nossa).”

“Assim como Dedekind e na mesma época, porém com uma abordagem completamente diferente, Geog Cantor oferece suas valiosas contribuições para a construção dos números irracionais, por meio de seqüências de Cauchy, garantindo a existência do conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo. Permitindo, tal como na teoria de Dedekind, operar com os números reais.”

“Enquanto que as classes B e A são tais que se pode igualar cada a a um b, mas não cada b a um a, pode-se igualar não somente cada b a um c, mas também cada c a um b. Ainda que as classes B e C possam em certa medida ser identificadas, é essencial, na teoria que eu apresento, manter a distinção abstrata entre as classes B e C (…) A classe C e aquelas que a precedem produzem de maneira análoga uma classe D; estas produzem uma classe E, e assim por diante” CANTOR, 1872 apud COUSQUER – Infelizmente a exposição já ficou abstrata demais para um ente limitado como eu…

REFERÊNCIAS

COUSQUER, Eliane. La fabuleuse Histoire des Nombres. Diderot Editeur, Arts et Sciences, 1998.

EUCLIDES, Os elementos. Tradução e Introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora Unesp, 2009.

L’ENCYCLOPÉDIE – AL – compilado (3)

ALGEBRE. “il faut observer que les Arabes ne se servent jamais du mot algebre seul pour exprimer ce que nous entendons aujourd’hui par ce mot; mais ils ajoutent toujours le mot macabelah, qui signifie opposition et comparaison; ainsi algebra-almacabelah est ce que nous appellons propremente algebre. (…) Les anciens auteurs Italiens lui donnent le nom de regula rei & census, c’est-à-dire, la regle de la racine & du quarré: chez eux la racine s’appelle res, et le quarré, census.”

“Elle soulage la mémoire et l’imagination en diminuant beaucoup les efforts qu’elles seraient obligées de faire, pour retenir les différentes choses nécessaires à la découverte de la vérité sur laquelle on travaille, et que l’on veut conserver presentes à l’esprit: c’est pourquoi quelques auteurs appellent cette science géométrie métaphysique.”

“Diophante est le premier et le seul auteur parmi les Grecs qui ait traité de l’algebre. On croit que cet art a été fort cultivé par les Arabes: on dit même que les Arabes l’avaient reçu des Perses, et les Perses des Indiens. On ajoute que les Arabes l’apparterent en Espagne; d’où, suivant l’opinion de quelques-uns, il passa en Anglaterre avant que Diophante y fût connu.”

“Luc Paciolo, ou Lucas à Burgo, cordelier, est le premier dans l’Europe qui mit écrit sur ce sujet: son livre, écrit en Italien, fut imprimé à Venise en 1494. Il était, dit-on, disciple d’un Léonard de Pise et de quelques autres dont il avait appris cette méthode: mais nous n’avons aucun de leurs écrits. Selon Paciolo, l’algebre vient originairement des Arabes: il ne fait aucune mention de Diophante; ce qui ferait croire que cet auteur n’était pas encore connu en Europe. Son algebre ne va pas plus loin que les équations simples et quarrées; encore son travail sur ces dernieres équations est-il fort imparfait, comme on le peut voir par le detail que donne sur ce sujet M. l’abbé de Gua, dans un excellent mémoire imprimé parmi deux de l’académie des sciences de Paris en 1741.”

“Viete ne considera donc point les racines réelles négatives, non plus que les racines impossibles, que Bombelli avait introduites dans le calcul; et ce ne fut que par des voies indirectes qu’il vint à bout de déterminer, lorsqu’il en eu besoin, le nombre des racines réelles positives.”

“Il n’est presqu’aucune science qui n’ait dû au grand Descartes quelque degré de perfection: mais l’algebre et l’analyse lui sont encore plus redevables que toutes les autres. Vraisemblablement il n’avait point lu ce que Viete avait découvert dans ces deux sciences, et il les poussa beaucoup plus loin.” “C’est lui qui a introduit dans l’algebre les exposans, et qui a donné les príncipes élémentaires de leurs calculs” “Voyez le commencement de sa Géométrie.” “enfin, l’application de l’analyse et de la géométrie à la physique, dont on n’avait point vu jusqu’alors d’aussi grand exemple.”

“la détermination du nombre des racines vraies ou fausses, c’est-à-dire positives ou négatives” “Quoique Newton fût né dans un temps où l’analyse paraissait déja presque parfaite; cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore.” “A cela il faut joindre l’application des fractions au calcul des exposans; l’expression en suites infinies des puissances entieres ou fractionnaires, positives ou négatives d’un binome quelconque; l’excellente regle connue sous le nom de Regle du parallélogramme; (…) methodus differentialis.”

“Je me suis contenté dans cet article de donner l’idée générale de l’algebre, telle à-peu-près qu’on la donne communément; et j’y ai joint, d’après M. l’abbé de Gua, l’histoire de ses progrès. Les savans trouveront à l’article ARITHMÉTIQUE UNIVERSELLE, des réflexions plus profondes sur cette science, et à l’art.” Pomposo.

Obs.: em Francês, número irracional é “nombre sourd”.

ALK. O popular pingüim, pingouin, provindo do Norueguês! Depois convertido para “auk” (termo compartilhado pelos anglo-saxões). “La forme de son bec est des plus singulières; il est si comprimé, si applati par les cotés, qu’il ressemble à un triangle; de sorte qu’il parait avoir presqu’autant de hauteur ou de profoundeur que de longueur. (…) Les aîles sont composées de 28 plumes et la queue de 12, qui sont pointues, et d’autant plus longues, qu’elles sont plus proches du milieu § En general cet oiseau est noir en dessus et blanc en dessous; mais on voit outre cela quelques mélanges.”

ALLEGRO. “designa, do lento ao rápido, o terceiro dos quatro principais graus de movimento estabelecidos na Música Italiana. Adjetivo que significa contente; e é também a expressão de um movimento alegre e animado, o mais vivo de todos depois do presto. Vide Mouvement. O diminutivo allegretto indica uma agitação mais moderada, um pouco menos de vivacidade na medida.”

#offtopic Não deixa de ser irônico e paradoxal que antes se prefira o amanhã que o hoje.

“ALLEMANDE, s. f. (Musique.) est une sorte de piece de Musique, dont la mesure est à 4 tems, & se bat gravement. Il paroît par son nom que ce caractere d’air nous est venu d’Allemagne: mais il est vieilli, & à peine les Musiciens s’en servent-ils aujourd’hui; ceux qui l’employent encore lui donnent un mouvement plus gai.”

“ALLIGATOR, s. m. espece de crocodile des Indes Occidentales; il a jusqu’à 18 piés de long, & sa grosseur est proportionnée à sa longueur. Il est amphibie.[!]”

“ALLURE, s. f. c’est la maniere de marcher des bêtes. Ce mot s’applique en Morale à la conduite, & se prend en mauvaise part.”

“ALLURES, s. f. plur. (Manége.) train, marche d’un cheval. Les allures du cheval sont le pas, l’entre-pas, le trot, l’amble, le galop, le traquenard, & le train rompu.”